Đáp án:ko có số chính phương 

Giải thích các bước giải:

Giả sử 2010 + n² là số chính phương thì 2010 + n² = m² (m ∈ N)
Từ đó suy ra m² - n² = 2010
<=> (m + n)(m – n) = 2010
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
=> 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2)
=> m + n và m – n là 2 số chẵn.
=> (m + n) (m – n) chia hết cho 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
=> Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n² là số chính phương.

` +) ` Gỉa sử ` n^2 + 2010 ` là một số chính phương 

` ⇒ n^2+2010=m^2 `

` ⇒m^2-n^2=2010 `

` ⇒ (m-n)(m+n)=2010 `

` ⇒ ` m-n hoặc m+n phải có ít nhất một tổng ( hiệu ) là số chẵn 

` +) m-n+m+n=2m `

` ⇒ ` 2 số m+n và m-n đều tính chẵn lẻ 

` ⇒ ` m+n và m-n đều là số chẵn 

` ⇒ ` m+n và m-n đều chia hết cho 2

` ⇒ ( m-n)(m+n) ` chia hết cho 4 . Nhưng 2010 không chia hết cho 4

` ⇒ ` Không tồn tại số nguyên ` n ` để ` n^2+2010 ` là số chính phương