a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat BAC=\widehat{BHA}=90^o$

$\widehat{ABC}=\widehat{HBA}$ (là một góc)

$\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA$ (g.g)

b) $BC=BH+CH=4+9=13$

$\Delta ABC\sim\Delta HBA\Rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AB^2=BH.BC=4.13=52\Rightarrow AB=2\sqrt{13}$cm

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào $\Delta ABC\bot A$:

$AC^2=BC^2-AB^2=13^2-52=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}$

Tứ giác $AEHD $ có $\widehat A=\widehat E=\widehat D=90^o$ nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH=DE$

Mà $2S_{\Delta ABC}=AH.BC=AB.AC$

$\Rightarrow DE=AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6$cm

c) Ta có: $\widehat{D_1}=\widehat{A_1}$ (do $\Delta NAD$ cân đỉnh N)
$\widehat{A_1}=\widehat C$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)

$\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{C}$

$\widehat A$ chung

$\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta AED$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow AB.AD=AE.AC$ (đpcm).