E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC

⇒ ME ⊥ AB tại E và MF ⊥ AC tại F

⇒ `hat(MEA)` = `hat(MFA)` (=90°)

⇒ AEMF là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết)

Gọi O là giao điểm của AM và EF

⇒ O là trung điểm của AM và EF

M đối xứng N qua AB

⇒ MN ⊥ AB

mà ME ⊥ AB tại E (cmt)

⇒ M đối xứng N qua AB và cắt AB tại E

⇒ M đối xứng N qua E

⇒ ME = NE hay E là trung điểm MN

P đối xứng M qua F

⇒ PF = MF hay F là trung điểm PM

Xét ΔMNP có :

+) E là trung điểm MN (cmt)

+) F là trung điểm PM (cmt)

⇒ EF là đường trung bình của ΔMNP (tính chất)

⇒ EF // NP

Xét ΔMAN có :

+) E là trung điểm MN (cmt)
+) O là trung điểm AM (cmt)

⇒ EO là đường trung bình của ΔMAN (t/c)

⇒ EO // NA hay EF // NA

Xét ΔMAP có :

+) F là trung điểm MP (cmt)
+) O là trung điểm AM (cmt)

⇒ FO là đường trung bình của ΔMAP (t/c)

⇒ FO // AP hay EF // AP

Ta có :
EF // NP (cmt)

EF // NA (cmt)

EF // AP (cmt)

⇒ A,N,P thẳng hàng