a,

`\triangle ABC` vuông tại `A` có : 

`AB^2+AC^2=BC^2` (Pytago)

`-> 6^2+8^2=BC^2`

`->BC^2=10^2`

`->BC=10cm`

`\triangle ABC` vuông tại `A` có `AM` là đường trung tuyến

`->AM=1/2BC=1/2 . 10=5cm`

b,

`MD\bot AB->hat{ADM}=90^o`

`ME\bot AC->hat{AEM}=90^o`

Tứ giác `ADME` có : `hat{DAE}=90^o,hat{ADM}=90^o,hat{AEM}=90^o`

`->ADME` là hình chữ nhật

c,

$MD\bot AB,AB\bot AC\to MD//AC\\ME\bot AC,AB\bot AC\to ME//AB$

`\triangle ABC` có : $MD//AB, M$ là trung điểm của `BC`

`->D` là trung điểm của `AB`

`\triangle ABC` có : $ME//AB, M$ là trung điểm của `BC`

`->E` là trung điểm của `AC`

`\triangle ABC` có : `D,E` là trung điểm của `AB,AC`

`->DE` là đường trung bình

`->` $DE//BC$

Tứ giác `DECB` có : $DE//BC$

`->DECB` là hình thang

d,

`\triangle BDM` có `DH` là đường trung tuyến

`->DH=1/2 BM`

Chứng minh tương tự : `EI=1/2 CM`

Mà `BM=CM`

`->DH=EI`

e,

`ADME` là hình vuông

`->` Hình chữ nhật `ADME` có `AM` là phân giác `hat{DAE}`

`->AM` là phân giác `hat{BAC}`

`\triangle ABC` có `AM` là đường trung tuyến, phân giác

`->\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` để `ADME` là hình vuông

Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

`a,`

Xét `\triangleABC` vuông tại `A` 

`AB^2+AC^2=BC^2`

`->BC=\sqrt{AB^2+AC^2}`

`->BC=\sqrt{6^2+8^2}`

`->BC=10(cm)`

Vì `\triangleABC` vuông tại `A` nên `AM` là trung tuyến.

`=>AM=1/2 . BC=1/2 . 10=5(cm)`

`b,`

Xét tứ giác `ADME` có:

`\hat(MEA)=90^0(ME bot AC)`

`\hat(MDA)=90^0(MD bot AB)`

`\hat(EAD)=90^0(\triangleABC bot A)`

`->ADME` là hình chữ nhật(có `3` góc vuông).

`c,`

Xét `\triangleABC` có:

`MD////AC(bot AB)`

`CM=MB`

`->MD` là đường trung bình

`->AD=DB`

Lại có:

`ME////AB(bot AC)`

`CM=BM`

`->ME` là đường  trung bình

`->CE=AE`

Xét `\triangleABC` vuông tại `A` có:

`CE=AE`

`AD=DB`

`->ED` là đường trung bình

`->ED////BC`

`->DECB` là hinh thang.

`d,`

Xét `\triangleCEM` vuông tại `E` có:

`EI` là đường trung tuyến

`->EI=1/2CM=1/2BC(CM=1/2BC)`

Xét `\triangleMDB` có:

`DH` là đường trung tuyến

`->DH=1/2BM=1/4BC(BH=1/2BC)`

`=>EI=DH(=1/4BC)`

`e,`

`ADME` là hinh vuông 

`->AD=AE`

Mà `AE=1/2AC` và `AD=1/2AB` khi `AD=AE`

`->AC=AB`

Vậy, để `ADME` là hình vuông thì `\triangleABC` vuông cân tại `A.`