Đáp án:

a) E đối xứng với M qua AB

b)

Tứ giác AEMC là hình bình hành

Tứ giác AEBM là hình thoi

c) Chu vi tứ giác AEBM là $8cm$

d) Để tứ giác AEBM là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

D là trung điểm của AB (gt)

M là trung điểm của BC (gt)

$\to$ DM là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to DM//AC, DM=\dfrac{1}{2}AC$

Mà $AB\bot AC$ (gt)

$\to DM\bot AB\to ME\bot AB$ tại D

Lại có: $ME=ED$ (gt)

$\to$ E đối xứng với M qua AB

b)

Ta có: $DM=\dfrac{1}{2}AC$ (cmt)

Lại có: $EM=ED+DM=2DM\to DM=\dfrac{1}{2}EM$

$\to AC=EM$

Xét tứ giác AEMC:

$EM//AC\,\,\,(DM//AC)$

$EM=AC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AEMC là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Xét tứ giác AEBM:

D là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của EM (gt)

$\to$ Tứ giác AEBM là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $EM\bot AB$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AEBM là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

c)

$\triangle ABC$ vuông tại A, đường trung tuyến AM

$\to AM=BM=MC=\dfrac{1}{2}BC=2(cm)$

Chu vi tứ giác AEBM:

$AM+MB+BE+EA=4AM=4.2=8(cm)$

d)

Tứ giác AEBM là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác AEBM là hình vuông

$⇔AM\bot MB\\⇔AM\bot BC$

$\to$ AM là đường cao của $\triangle ABC$

Mà AM là đường trung tuyến của $\triangle ABC$ (gt)

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác AEBM là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A