Đáp án+Giải thích các bước giải:

Với `n=0`

`=> n^4+n+2=0+0+2=2` không là số chình phương

Với `n=1`

`=> n^4+n+2=1+1+2=4=2^2` là số chính phương

Với `n>=2`

`=> (n^2+1)^2`

`=(n^2)^2+2n^2+1`

`=n^4+2n^2+1>n^4+n+2`

`=> n^2<n^4+n+2<n^4+2n^2+1`

`<=> n^2<n^4+n+2<(n^2+1)^2`

Mà `n^2` và `(n^2+1)^2` là `2` số chính phương liên tiếp

`=> n^4+n+2` không là số chính phương

Vậy `n=1` là giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài.

`*` Bài toán phụ:

Chứng minh: `(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

Giải:

`(a+b)^2`

`=(a+b)(a+b)`

`=a(a+b)+b(a+b)`

`=a^2+ab+ab+b^2`

`=a^2+2ab+b^2` (đpcm)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`n^4+n+2`

`+)n=0` 

`⇒n^4+n+2=0+0+2=2` không phải là số chính phương

`+)n=1`

`⇒n^4+n+2=1+1+2=4=2^2` là số chính phương

`+)n=2`

`⇒n^4+n+1=16+2+1=19` không phải là số chính phương

`+)n>2`

`⇒(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1`

Mà `n^4+2n^2+1>n^4+n+2`

    `n^2<n^4+n+2`

`⇒n^2<n^4+n+2<n^4+2n^2+1`

`⇔n^2<n^4+n+2<(n^2+1)^2`

Mà `n^2;(n^2+1)^2` là 2 số chính phương liên tiếp

`⇒n^4+n+2` không phải là số chính phương

`⇒n=1`

Vậy `n=1` thì biểu thức trên là số chính phương