a) Gọi I là giao điểm của OA và BC

Ta có AB và AC đều là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC

Xét ΔOBA và ΔOCA có :

AB = AC (cmt)

OB = OC (= R)

OA chung 

⇒ ΔOBA = ΔOCA

⇒ Góc BAO = góc CAO

⇒ AO là đường phân giác của góc BAC

⇒ AI là đường phân giác của góc BAC

mà ΔABC là Δ cân tại A (AB = AC)

⇒ AI là đường cao của ΔABC

⇒ AI ⊥ BC hay OA ⊥ BC 

b) Ta có AI là đường cao của Δ cân ABC

⇒ AI là đường trung trực của Δ cân ABC

⇒ I là trung điểm của BC

⇒ IB = IC

Đường tròn (O) có CD là đường kính

⇒ OC = OD

Xét ΔBCD có :

IB = IC (cmt)

OC = OD (cmt)

⇒ OI là đường trung bình của ΔBCD

⇒ BD // OI hay BD // OA

c) AB là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB ⊥ BO

⇒ ΔOBA vuông tại B

⇒ `BA^2=OA^2-OB^2=4^2-2^2=16-4=12`

⇒ `BA=\sqrt{12}=2\sqrt{3}`cm

ΔOBA là Δ vuông tại B

Ta có :

`Sin\hat(BAO)=(OB)/(OA)=2/4=1/2`

⇒ Góc BAO = 30°

mà `\hatBAO=\hatCAO` (AO là phân giác)

⇒ `\hat(BAO)+\hat(CAO)=60°`

⇒ `\hat(BAC) = 60°`

Δ cân ABC có `\hat(BAC) = 60°`

⇒ ΔABC là Δ đều

⇒ `AC=BC=BA=2sqrt3`cm

Đáp án:

a) A là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và C của (O) 

=> AB = AC

Mà IB = OC = R

=> CA là đường trung trực của BC 

=> OA vuông góc BC

b) Có OB = DC = OD = h

=> ΔOBD và ΔOBC cân tại D

=> $\widehat{D}$1 = $\widehat{B}$1, $\widehat{C}$1 = $\widehat{B}$2

=> $\widehat{D}$1 + $\widehat{C}$1 = $\widehat{B}$1 + $\widehat{B}$2 = $\widehat{DBC}$

ΔBCD có

$\widehat{D}$1 + $\widehat{C}$1 + $\widehat{DBC}$ = 180 độ

$\widehat{DBC}$ + $\widehat{DBC}$ = 180 độ

$\widehat{DBC}$ = 90 độ

=> BD ⊥ BC

Mà OA ⊥ BC

=> BD // OA

c) ΔOAB vuông tại B

=> sin $\widehat{A}$1 = $\frac{OB}{OA}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ 

=> $\widehat{A}$1 = 30 độ

A là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và C của (O)

=> AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ 

=> $\widehat{BAC}$= 2 $\widehat{A}$1 = 60 độ

ΔABC có AB = AC

$\widehat{BAC}$ = 60 độ

=> ΔABC đều

Áp dụng định lí Pitago vào ΔOAB vuông tại B

OB² + AB² = OA²

2² + AB² = 4²

AB² = 12

AB = 2$\sqrt[]{3}$ cm

=> AB = AC = BC = 2$\sqrt[]{3}$ cm