a) Xét tứ giác $ABDC$ có $AC\parallel DB$ (vì cùng $\bot AB$)

$\Rightarrow ABDC$ là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Có thêm $\widehat{CAB}=\widehat{ABD}=90^o$

$\Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông

b) $\Delta AEB$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AB)$

$\Rightarrow \widehat{AMB}=90^o$

$\Rightarrow BE\bot AE$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABD$ đường cao $BE$ có:

$BD=DE.DA$ (1)

Do $DM$ và $DB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$

$\Rightarrow DM=DB$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta DMB$ cân đỉnh $D$

có thêm $DO$ là đường phân giác của $\widehat{MDB}$

$\Rightarrow DO$ là đường cao $\Rightarrow DO\bot MB$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $BCD$ đường cao $BN$ có:

$BD^2=DN.DC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DE.DA=DN.DC$ (đpcm)

c) Xét $\Delta AOF$ và $\Delta OBD$ có:

$\widehat{AOF}=\widehat{OBD}=90^o$

$AO=OB$

$\widehat{A_1}=\widehat{O_1}$ (do cùng phụ $\widehat{ABM}$)

$\Rightarrow \Delta AOF=\Delta OBD$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)

$\Rightarrow OF=BD$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có $OF\parallel BD$ (vì cùng $\bot AB$)

$\Rightarrow OFDB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Lại có thêm $\widehat{FOB}=90^o$

$\Rightarrow OFDB$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

d) Ta có: $AM=OM=OA=R$ nên $\Delta OAM$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{A_1}=60^o$ (cùng phụ $\widehat{ABM}$) và có $DM=DB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \Delta MDB$ đều $\Rightarrow DB=MB$

$\Delta $ vuông $ABM$: $MB=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{(2R)^2-R^2}=R\sqrt3$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau $CA=CM\Rightarrow \Delta ACM$ cân đỉnh $M$

$CO$ là tia phân giác của $\widehat {ACM}\Rightarrow CO$ là đường cao $\Rightarrow CO\bot AM$

Gọi $CO\cap AM=K$, $K$ là trung điểm của $AM$

$\widehat{CAK}=30^o$ (do phụ với $\widehat {A_1}=60^o$)

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AKC$ có:

$\cos\widehat{CAK}=\dfrac{AK}{AC}$

$\Rightarrow AC=\dfrac{AK}{\cos\widehat{CAK}}=\dfrac{\dfrac{R}{2}}{\cos30^o}=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$\Rightarrow S_{ABDC}=\dfrac{(AC+BD).AB}{2}=\dfrac{(\dfrac{R}{\sqrt3}+R\sqrt3)2R}{2}=\dfrac{4R^2}{\sqrt3}$