Giải thích các bước giải:

1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có: $AB^2+AC^2=BC^2$ (Pi - ta -go)

$=>AB^2=BC^2-AC^2$

$=>AB^2=10^2-6^2$

$=>AB^2=8^2$

$=>AB=8(cm)$ (do $AB>0$)

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{ABC}=\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{8.6}{2}=24(cm^2)$

2)

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,b$ (cm) ($a,b>0$)

Theo đề bài, có: $(a+20)(b-5)=600+6000$ và $ab=6000=>b=\dfrac{6000}{a}$

$=>(a+20)(b-5)=6600$$

$=>ab-5a+20b-100=6600$

$=>6000-5a+20b-100=6600$

$=>-5a+20b=6600-6000+100$

$=>-5a+20.\dfrac{6000}{a}=700$

$=>\dfrac{-5a^2}{a}+\dfrac{120000}{a}=700$

$=>\dfrac{-5a^2+120000}{a}=700$

$=>-5a^2+120000=700a$

$=>-5a^2-700a+120000=0$

$=>-5(a^2+140a-24000)=0$

$=>a^2+140a-24000=0$

$=>(a^2-100a)+(240a-24000)=0$

$=>a(a-100)+240(a-100)=0$

$=>(a-100)(a+240)=0$

$=>a-100=0$ hay $a+240=0$

$=>a=100$ (Thỏa mãn) hay $a=-240$ (Không thỏa mãn vì $a>0$)

$=>a=100(cm)$

$=>b=\dfrac{6000}{a}=\dfrac{6000}{100}=60(cm)$

Chu vi hình chữ nhật ban đầu là:

   $P_{\text{Hình chữ nhật}}=2.(a+b)=2.(100+60)=320(cm)$

        Hình bạn tự vẽ nhé.

Câu 1: 

 Kẻ đường cao AH

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

      $BC^{2}$ = $AC^{2}$ + $AB^{2}$ 

⇒   $AB^{2}$ = $BC^{2}$ - $AC^{2}$

⇔  $AB^{2}$ = 10² - 6² = 64

⇒    AB  =   8 (cm)

Ta có:  AB × AC = BC × AH 

    ⇔    8  ×   6  =  10 × AH

    ⇒ AH = 4,8 (cm)

$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$ × AH × BC = $\frac{1}{2}$ × 4,8 × 10 = 24 (cm²)

  Vậy $S_{ABC}$ = 24 cm²

Bài 2:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là: x (x>0, cm)

Chiều rộng của hình chữ nhật là: $\frac{6000}{x}$ (cm)

Nếu chiều dài tăng 20 cm là: x + 20 (cm)

        chiều rộng giảm 5 cm là: $\frac{6000}{x}$ - 5 (cm)

thì S tăng 600 cm² là: 6000 + 600 = 6600 (cm²)

Ta có PT:    (x + 20) × ($\frac{6000}{x}$ - 5) = 6600 

       ⇔ $\frac{6000x+12000}{x}$ - 5x - 100 = 6600

       ⇔ $\frac{6000x+12000}{x}$ - 5x          = 6700

       ⇔ $\frac{6000x+12000}{x}$ -  $\frac{5x²}{x}$ = $\frac{6700x}{x}$ 

       ⇒ 6000x + 12000 - 5x² = 6700x

       ⇔          12000              = 6700x - 6000x + 5x²

       ⇔          12000              = 700x + 5x²

       ⇔  700x + 5x² - 12000 = 0

       ⇔  5×(140x + x² - 24000) = 0

       ⇔  x² + 140x - 24000       = 0

       ⇔  x² - 100x + 240x - 24000 = 0

       ⇔  x(x - 100) + 240(x-100)  = 0

       ⇔ (x - 100)(x+240)  = 0

       ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x-100\\x+240\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=100\\x=-240(L)\end{array} \right.\) 

 Chiều dài HCN là: 100 (cm)

⇒ Chiều rộng HCN là: $\frac{6000}{100}$ = 60 (cm)

⇒ Chu vi HCN ban đầu là: (60 + 100)×2 = 320 (cm)