Bài 3:  $AB=4$,$AC=6$,$BC=2\sqrt{7}$

a)

Nữa chu vi: $p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{4+6+2\sqrt{7}}{2}=5+\sqrt{7}$

Diện tích: $S=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-AC \right)\left( p-BC \right)}=6\sqrt{3}$

Trung tuyến $AM$:

$AM=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{{{4}^{2}}+{{6}^{2}}}{2}-\dfrac{{{\left( 2\sqrt{7} \right)}^{2}}}{4}}=\sqrt{19}$

Số đo góc $B$:

$\cos B=\dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2AB.BC}=\dfrac{{{4}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{7} \right)}^{2}}-{{6}^{2}}}{2.4.2\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{14}$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 79{}^\circ 6'$

b)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$S=\dfrac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.AC.BC}{4S}=\dfrac{4.6.2\sqrt{7}}{4.6\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$

Bán kính đường tròn nội tiếp:

$S=p.r\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}}=\dfrac{-\sqrt{21}+5\sqrt{3}}{3}$

Đường cao $CH$

$S=\dfrac{1}{2}CH.AB\Rightarrow CH=\dfrac{2S}{AB}=\dfrac{2.6\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}$

Bài 4:  $a=8$,$b=7$,$c=11$

a)

Nữa chu vi: $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{8+7+11}{2}=13$

Diện tích: $S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=2\sqrt{195}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$S=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{8.7.11}{4.2\sqrt{195}}=\dfrac{77\sqrt{195}}{195}$

b)

Chiều cao hạ từ $A$:

$S=\dfrac{1}{2}a\cdot {{h}_{a}}\Rightarrow {{h}_{a}}=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{2.2\sqrt{195}}{8}=\dfrac{\sqrt{195}}{2}$

Trung tuyến hạ từ $A$:

${{m}_{a}}=\sqrt{\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{{{7}^{2}}+{{11}^{2}}}{2}-\dfrac{{{8}^{2}}}{4}}=\sqrt{69}$