Giải thích các bước giải:

d)

Gọi giao điểm của AH và EF là O

Xét hình chữ nhật AEHF có $\begin{cases} EO=\dfrac12 .EF\text{ (O là trung điểm EF)}\\OH=\dfrac12 AH \text{ (O là trung điểm AH)}\\AH=EF\end{cases}$

Do đó $OE=OH$ => Tam giác OEH cân tại O

Nên $\widehat{OEH}=\widehat{HEF}=\widehat{OHE}$ (1)

Xét tam giác BEH vuông ở E có AM là đường trung tuyến (M là trung điểm BH) nên $EM=\dfrac12 . BH$

Ta có: $\begin{cases} EM=\dfrac12 . BH(cmt)\\MH=\dfrac12 BH\text{ (M là trung điểm BH)} \end{cases}$

Nên $EM=MH$

Do đó tam giác EMH cân tại M

$=>\widehat{MEH}=\widehat{MHE}$ (2)

$(1)(2)=>\widehat{MEH}+\widehat{HEF}=\widehat{MHE}+\widehat{OHE}=\widehat{AHB}=90^o$ (do AH là đường cao) (3)

Chứng minh tương tự với $\widehat{EFN}$, có: $\widehat{EFN}=90^o$ (4)

$(3)(4)=>$ MNFE là hình thang vuông

Xét tam giác BAH vuông tại H có $BA^2=AH^2+HB^2$ (Pi - ta - go)

$=>6^2=4,8^2+HB^2$

$=>HB^2=12,96$

$=>HB=3,6(cm)$

Xét tam giác BEH vuông tại E có EM là đường trung tuyến nên $EM=\dfrac12 BH=\dfrac12 .3,6=1,8(cm)$

Xét tam giác CAH vuông tại H có $CA^2=AH^2+HC^2$ (Pi - ta - go)

$=>8^2=4,8^2+HC^2$

$=>HC^2=40,96$

$=>HC=6,4(cm)$

Xét tam giác CFH vuông tại F có FN là đường trung tuyến nên $FN=\dfrac12 CH=\dfrac12 .6,4=3,2(cm)$

Diện tích hình thang vuông MNFE là:

   $S_{MNFE}=\dfrac{EF.(EM+FN))}{2}=\dfrac{4,8.(1,8+3,2)}{2}=12(cm^2)$