a) Do K, N là trung điểm BC, AC nên KN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra

$KN = \dfrac{1}{2} AB$ và $KN//AB$.

Lại có $AB \perp AC$ nên $KN \perp AC$.

Do đó tứ giác ABKN là hình thang với $AB \perp AN$ và $NK \perp AN$.

Vậy tứ giác ABKN là hình thang vuông tại A và N.

b) Xét tứ giác MBNQ có BM//NQ, BN//MQ.

Vậy tứ giác MBNQ là hình bình hành.

Vậy $QN = MB = \dfrac{1}{2} AB$

Lại có $KN = \dfrac{1}{2} AB$ nên $KN = QN$

Vậy N là trung điểm QK.

Lại có N là trung điểm AC nên N là tâm đối xứng của tứ giác AKCQ.

Vậy tứ giác AKCQ là hình bình hành.

Lại có $AC \perp QK$. Do đó tứ giác này là hình thoi.

c) Do tứ giác MBNQ là hình bình hành mà MN giao BQ tại O nên O là trung điểm MN.

Xét tứ giác AMKN có

$\widehat{KMA} = \widehat{MAN} = \widehat{ANK} = 90^{\circ}$

Do đó tứ giác AMKN là hình chữ nhật, suy ra AK giao MN tại trung điểm mỗi đường.

Lại có O là trung điểm MN nên O là trung điểm AK.

Xét tam giác KQB có O, N là trung điểm QB, KQ nên BN, KO là trung tuyến của tam giác KQB.

Lại có BN giao KO tại I. Do đó I là trọng tâm của tam giác KQB. Suy ra

$IO =\dfrac{1}{3} OK = \dfrac{1}{3}. \dfrac{1}{2} AK = \dfrac{1}{6} AK$ (do O là trung điểm AK).

Xét tam giác ABC vuông tại A có AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, do đó

$AK = \dfrac{1}{2} BC = \dfrac{1}{2} . 24 = 12$ (cm)

Do đó

$OI = \dfrac{1}{6} AK = \dfrac{1}{6} . 24 = 4$ (cm)

Đáp án:1) KN=1/2AB, Tứ giác ABKN là hình thang vuông.

Giải thích các bước giải:

 1) AN=NC, BK=KC(gt) => KN là đường trung bình=> KN//AB và =1/2 AB

Xét tứ giác ABKN có KN//AB(cmt) => ABKN là hình thang, mà góc A=90 độ(gt)=> ABKN là HTV.