Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vẽ đường cao SH của hình chóp S.ABC. Vẽ SD; SE; SF lần lượt vuông góc với AB; BC; CA ⇒ SD⊥AB; SE⊥BC; SF⊥CA ⇒ ^SDH = 30o; ^SEH = 45o; ^SFH = 60o

Gọi S; S1; S2; S3 lần lượt là diện tích ΔABC; ΔSAB; ΔSBC; ΔSCA ta có:

S(HAB) = S(SAB).cos(^SDH) = S1.cos30o = S1.√3/2

S(HBC) = S(SBC).cos(^SEH) = S2.cos45o = S2.√2/2

S(HCA) = S(SCA).cos(^SFH) = S3.cos45o = S3/2

S = S(ABC) = S(HAB) + S(HBC) + S(HCA) = (1/2)(S1.√3 + S2.√2 + S3) (*)

Mặt khác :

2S1 = AB.SD = AB.(SH/sin(^SDH)) = 6a.(SH/sin30o) = 12a.SH (1)

2S2 = BC.SE = BC.(SH/sin(^SEH)) = 7a(SH/sin45o) = (7a√2).SH (2)

2S3 = CA.SF = CA.(SH/sin(^SFH)) = 5a(SH/sin60o) = (10a√3/3).SH (3)

Lần lượt lấy (2):(1) và (3):(1) ta có :

S2/S1 = 7√2/12 ⇒ S2.√2= (7/6)S1

S3/S1 = (5√3/18)S1 ⇒ S3 = (5√3/18)S1

Thay vào (*)

(1/2)(√3 + 7/6 + 5√3/18)S1 = S

⇔ S1.(21 + 23√3)/36 = S

⇔ S1 = 36.S/(23√3 + 21) = 6(23√3 - 21)S/191

Với S = S(ABC) tính theo độ dài 3 cạnh tam giác ABC theo công thức Heron : S = 6a²√6

Thay vào ta có : S1 = (108/191)(23√2 - 7√6)a²

⇔ SD.AB/2 = (108/191)(23√2 - 7√6)a²

⇔ (SH/sin(^SDH)).(AB/2) = (108/191)(23√2 - 7√6)a²

⇔ (SH/sin(30o)).(AB/2) = (108/191)(23√2 - 7√6)a²

⇔ SH = (18/191)(23√2 - 7√6)a

V(S.ABC) = (1/3)SH.S = (1/3).(18/191)(23√2 - 7√6)a.(6a²√6) = (72/191)(23√3 - 21)a³