a) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:

$AB^2+AC^2=BC^2$

$\Leftrightarrow AB^2+(2AB)^2=BC^2$

$\Leftrightarrow 5AB^2=5^2$

$\Leftrightarrow AB^2=5\Rightarrow AB=\sqrt5$

$\Rightarrow AC=2AB=2\sqrt5$

b) Tứ giác $BHID$ có $BD\parallel IH$ (vì cùng $\bot BC$)

$\Rightarrow BHID$ là hình thang

Lại có $\widehat{HBD}=90^o\Rightarrow BHID$ là hình thang vuông

$\Rightarrow S_{BHID}=\dfrac{(IH+BD)BH}{2}$

Trong đó:

$\Delta ABC$ vuông: $AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{(\sqrt5)^2}{5}=1$

$\Rightarrow HC=BC-BH=5-1=4$

$AH^2=BH.CH=1.4=4\Rightarrow AH=2\Rightarrow IH=1$ (do $I$ là trung điểm $AH$)

Do $HI\parallel BD$ lấy $C$ nằm ngoài 2 đường thẳng theo Talet ta có:

$\dfrac{IH}{BD}=\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{4}{5}$

$\Rightarrow BD=\dfrac{5IH}{4}=1,25$

$\Rightarrow S_{BHID}=\dfrac{(1+1,25)1}{2}=1,125$

c) Xét $\Delta BEC$ có $BE^2+CE^2=BC^2$

$\Leftrightarrow (\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2=25=BC^2$

$\Rightarrow \Delta BCE\bot E\Rightarrow CE$ là tiếp tuyến $(B;AB)$

d) Do $\Delta APE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AP)$

$\Rightarrow \Delta APE\bot E\Rightarrow AE\bot PE$ (1)

Do $\Delta AQE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AQ)$

$\Rightarrow \Delta APE\bot E\Rightarrow AE\bot QE$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $PE\parallel QE$

$\Rightarrow P,Q,E$ thẳng hàng.