Đáp án:

1) Xét  ΔMNE và ΔMIE vuông tại E có:

+ ME chung

+ góc MEN = góc MEI = 90 độ

+ góc NME = góc IME

=> ΔMNE = ΔMIE (g-c-g)

=> MN = MI

=>ΔMNI cân tại M

2)

Ta có: ΔNHI vuông tại H nên: 

$\begin{array}{l}
\widehat {HNI} + \widehat {HIN} = {90^0}\\
Do:\Delta MNE = \Delta MIE\\
 \Rightarrow \widehat {HIN} = \widehat {MNE}\\
Lại\,có:\widehat {MNE} + \widehat {INP} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {INP} = \widehat {HNI}
\end{array}$

=> NI là phân giác của góc HNP

3)

Ta có: tam giác MNI có 2 đường cao NH và ME cắt nhau tại K

=> IK là đường cao thứ 3

=> IF vuông góc với MK

Xét ΔIMF và ΔNMH có:

+ góc NMI chung

+ MN = MI

+ góc IFM = góc NHM= 90 độ

=> ΔIMF = ΔNMH (ch-gn)

=> IF = NH và MF = MH

=> ΔMFH và ΔMNI cân tại M

=> góc MFH = góc MNI = (180 độ - góc M)/2

=> FH // NI

4)

Theo Pytago ta có:

$\begin{array}{l}
N{P^2} = M{P^2} - M{N^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\
 \Rightarrow NP = 4\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{1}{2}.NH.MP = \frac{1}{2}.MN.NP\\
 \Rightarrow NH = \frac{{3.4}}{5} = 2,4\left( {cm} \right)\\
Do:\Delta MNH = \Delta MIF\\
 \Rightarrow IF = NH = 2,4\left( {cm} \right)
\end{array}$