$\\$

`a,`

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AH . BC = 1/2 . 16 . 12 = 96(cm^2)`

`\triangle ABC` có :

`M,N` là trung điểm của `AB,AC` (gt)

`=>MN` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`=>MN=1/2 BC = 1/2 . 12 = 6cm`

`b,`

`E` đối xứng `H` qua `M` (gt) nên `M` là trung điểm của `HE`

Tứ giác `AEBH` có :

`M` là trung điểm của `AB,HE` (gt,cmt)

`<=>AEBH` là hình bình hành

Mà `hat{AHB}=90^o(AH\bot BC)`

`<=>AEBH` là hình chữ nhật

`c,`

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao

`=>AH` là đường trung tuyến hay `H` là trung điểm của `BC`

`F` đối xứng `A` qua `H` (gt) nên `H` là trung điểm của `AF`

Tứ giác `ABFC` có :

`H` là trung điểm của `AF,BC` (cmt)

`<=>ABFC` là hình bình hành

Mà `AF\bot BC` (gt)

`<=>ABFC` là hình thoi

`a)`

Ta có:`S_(ABC)=1/2AH.BC=1/2 .16.12=96(cm²)`

Xét `ΔABC` có:

`M` là trung điểm của `AB(g``t)`

`N` là trung điểm của `AC(g``t)`

`⇒MN` là đường trung bình của `ΔABC`

`⇒MN=1/2BC`(tính chất đường trung bình của `Δ)`

`⇒MN=1/2 .12=6(cm)`

Vậy `S_(ABC)=96cm²`

        `MN=6cm`

`b)`

Xét tứ giác `AHBE` có:

       `AM=BM(M` là trung điểm của `AB)`

       `EM=HM(E` là điểm đối xứng của `H` qua `M)`

`⇒` tứ giác `AHBE` là hình bình hành(tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)

Mà `hat{AHB}=90^o`

`⇒AHBE` là hình chữ nhật(hình bình hành có `1` góc vuông là hình chữ nhật)(đpcm)

`c)`

Vì `ΔABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao

`⇒AH` đồng thời là đường trung tuyến

`⇒BH=CH`

Xét tứ giác `ABFC` có:

       `BH=CH(cmt)`

       `AH=FH(F` là điểm đối xứng của `A` qua `H)`

`⇒`tứ giác `ABFC` là hình bình hành(tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)

Mà `AF⊥BC(AH⊥BC;F∈AH)`

`⇒ABFC` là hình thoi(hình bình hành có `2` đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)(đpcm)