Đáp án:

\[{2^{1009}} + 1\]

Giải thích các bước giải:

 Tổng của CSN được tính như sau:

\(S = 1 + q + {q^2} + {q^3} + .... + {q^n} = \frac{{{q^{n + 1}} - 1}}{{q - 1}}\)

Áp dụng công thức tính trên ta được:

\(\begin{array}{l}
z = \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + ..... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}\\
 = \left[ {1 + \left( {1 + i} \right) + {{\left( {1 + i} \right)}^2} + ...... + {{\left( {1 + i} \right)}^{2018}}} \right] - 1\\
 = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2019}} - 1}}{{\left( {1 + i} \right) - 1}} - 1\\
 = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2019}} - 1}}{i} - 1\\
{\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 1 + 2i - 1 = 2i\,\,\,\,\,\,\left( {{i^2} =  - 1} \right)\\
 \Rightarrow z = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^{2018}}.\left( {1 + i} \right) - 1}}{i} - 1\\
 = \frac{{{{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}^{1009}}.\left( {1 + i} \right) - 1}}{i} - 1\\
 = \frac{{{{\left( {2i} \right)}^{1009}}.\left( {1 + i} \right) - 1}}{i} - 1\\
 = \frac{{{2^{1009}}.{{\left( {{i^4}} \right)}^{252}}.i.\left( {1 + i} \right) - 1}}{i} - 1\\
 = \frac{{{2^{1009}}.1.\left( {i + {i^2}} \right) - 1}}{i} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{i^4} = 1} \right)\\
 = \frac{{{2^{1009}}\left( {i - 1} \right) - 1}}{i} - 1\\
 = \frac{{{2^{1019}}.i - \left( {{2^{1009}} + 1} \right)}}{i} - 1\\
 = {2^{1009}} - \frac{{\left( {{2^{1009}} + 1} \right)}}{i} - 1\\
 = \left( {{2^{1009}} - 1} \right) + \frac{{{i^2}.\left( {{2^{1009}} + 1} \right)}}{i}\,\,\,\,\,\,\,\left( {{i^2} =  - 1} \right)\\
 = \left( {{2^{1009}} - 1} \right) + \left( {{2^{1009}} + 1} \right)i
\end{array}\)

Vậy phần ảo của số phức đã cho bằng \({2^{1009}} + 1\)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Sử dụng công thức Moa Vrơ biến đổi số phức $1 + i$ sang dạng lượng giác ta có : $1 + i = \sqrt[]{2}(sin\frac{π}{4} + icos\frac{π}{4})$ 

$ ⇒ (1 + i)^{2019} = [\sqrt[]{2}(sin\frac{π}{4} + icos\frac{π}{4})]^{2019}$

$ = 2^{1009}\sqrt[]{2}(sin\frac{2019π}{4} + icos\frac{2019π}{4})$

$= 2^{1009}\sqrt[]{2}[sin(\frac{3π}{4} + 252.2π) + icos(\frac{3π}{4} + 252.2π)] = 2^{1009}\sqrt[]{2}[sin(\frac{3π}{4}) + icos(\frac{3π}{4})] = 2^{1009}\sqrt[]{2}(\frac{\sqrt[]{2}}{2} - i\frac{\sqrt[]{2}}{2})$

$= 2^{1009} - i.2^{1009}$

$ ⇒ i(1 + i)^{2019} = i(2^{1009} - i.2^{1009}) = 2^{1009} + i.2^{1009} $

$ z + 1 = 1 + (1 + i) + (1 + i)^{2} +..+ (1 + i)^{2018} = \frac{1 - (1 + i)^{2019}}{1 - (1 + i)} = \frac{1 - (1 + i)^{2019}}{- i} = i(1 - (1 + i)^{2019}) = i - i(1 + i)^{2019} = i - (2^{1009} + i2^{1009}) = - 2^{1009} + i(1 - 2^{1009}) $

Vậy phần ảo của $z$ là $1 - 2^{1009}$ ( Đáp án B)