Đáp án:

a) $S_{\triangle ABC}=60cm^2$

b) Tứ giác AHCK là hình chữ nhật

c) B, I, K thẳng hàng

d) Để tứ giác AHCK là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ cân tại A, đường cao AH

$\to$ AH đồng thời là trung tuyến

$\to$ H là trung điểm của BC

$\to BH=HC=\dfrac{1}{2}BC=5(cm)$

$\triangle AHC$ vuông tại H

$\to AH^2+HC^2=AC^2$ (định lý Pytago)

$\to AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12(cm)$

$\to S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.12.10=60(cm^2)$

b)

Xét tứ giác AHCK:

M là trung điểm của AC (gt)

M là trung điểm của HK (gt)

$\to$ Tứ giác AHCK là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $AH\bot BC\to AH\bot HC$

$\to$ Tứ giác AHCK là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

$\to AK//HC, AK=HC$

c)

Xét tứ giác AKHB:

$AK//HB\,\,\,(AK//HC)\\AK=HB\,\,\,(=HC)$

$\to$ Tứ giác AKBH là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Mà I là trung điểm của đường chéo AH (gt)

$\to$ Đường chéo BK đi qua trung điểm I của đường chéo AH

$\to$ B, I, K thẳng hàng

d)

Tứ giác AHCK là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác AHCK là hình vuông

$⇔AH=HC\\⇔AH=\dfrac{1}{2}BC$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A (tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông)

$\to$ Để tứ giác AHCK là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A