Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Xét hình thang $BEFC$ có:

$ON//BE//CF$ và $O$ là trung điểm của $EF$.

$\to N$ là trung điểm của $BC$ và $ON$ là đường trung bình của hình thang $BEFC$

$\begin{array}{l}
 \to ON = \dfrac{1}{2}\left( {BE + CF} \right)\\
 \to ON = \dfrac{1}{4}\left( {AB + CD} \right)
\end{array}$

Tương tự với hinh thang $AEFD$ ta có: $M$ là trung điểm của $AD$ và $OM = \dfrac{1}{4}\left( {AB + CD} \right)$

Như vậy $ \to OM = ON$

$\to O$ là trung điểm của $MN$.

Mặt khác: $O$ là trung điểm của $EF$ và $EF\cap MN=O$

$\to EMFN$ là hình bình hành.

b) Ta có:

$EMFN$ là hình thoi

$ \Leftrightarrow EF \bot MN = O$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow EF \bot CD = F\\
 \Rightarrow \widehat {OFC} = \widehat {OFD} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {NFC} = \widehat {MFD}\left( {\widehat {OFN} = \widehat {OFM}} \right)
\end{array}$

Lại có: $EMFN$ là hình thoi $\to NF=MF$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
NF = MF\\
\widehat {NFC} = \widehat {MFD}\\
FC = FD
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta NFC \sim \Delta MFD\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {NCF} = \widehat {MDF}\\
 \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC}
\end{array}$

$\to ABCD$ là hình thang cân.

c) 

Ta có:

Hình $EMFN$ là hình vuông khi và chỉ khi $EMFN$ là hình thoi và $EF=MN$

$\to EMFN$ là hình thang cân và $EF = \dfrac{1}{4}\left( {AB + CD} \right)$