Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a^5b-ab^5

=ab(a^4-b^4)

=ab(a^4-1)-ab(b^4-1)

-Xét ab(a^4-1)

=ab(a-1)(a+1)(a²+1)

+Vì (a-1)(a+1)a là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

⇒ chia hết cho 3

+Vì a là số nguyên tố lớn hơn 2

⇒a lẻ

⇒a-1 và a+1 chẵn

⇒(a-1)(a+1) chia hết cho 8

mà a lẻ⇒a²+1 chẵn⇒a²+1 chia hết cho 2

Vậy ab(a-1)(a+1)(a²+1) chia hết cho 48

-Mặt khác : 

ab(a-1)(a+1)(a²+1)

=ab(a-1)(a+1)(a²-4+5)

=ab(a-1)(a+1)(a²-4)+5ab(a-1)(a+1)

=ab(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5ab(a²-1)

+Vì ab(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp 

⇒ chia hết cho 5

mà 5ab(a²-1) cũng chia hết cho 5

⇒ab(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5ab(a²-1) chia hết cho 5

⇒ab(a-1)(a+1)(a²+1) chia hết cho 5

mà ab(a-1)(a+1)(a²+1) chia hết cho 48

⇒ab(a-1)(a+1)(a²+1) chia hết cho 240 (vì 5 và 48 nguyên tố cùng nhau)

⇒ab(a^4-1) chia hết cho 240

-Cmtt⇒ab(b^4-1) chia hết cho 240

⇒ab(a^4-1)+ab(b^4-1) chia hết cho 240

⇒a^5b-ab^5 chia hết cho 240 (ĐPCM)

$\textit{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

`a^5b-ab^5`

`=a^5b-ab-ab^5+ab`

`=ab(a^4-1)-ab(b^4-1)`

`=ab(a-1)(a+1)(a^2+1)-ab(b-1)(b+1)(b^2+1)`

`a` là số nguyên tố lớn hơn `2` nên `a` lẻ

`=>a-1,a+1` chẵn

`=>a(a-1)(a+1) \vdots 8`

`=>a(a-1)(a+1)(a^2+1) \vdots 8` 

Tương tự `ab(b-1)(b+1)(b^2+1) \vdots 8`

`=>a^5b-ab^5 \vdots 8` $(1)$

Mặt khác

`a^5b-ab^5`

`=a^5b-ab-ab^5+ab`

`=b(a^5-a)-a(b^5-b)`

Xét `a^5-a=a(a^4-1)=a(a-1)(a+1)(a^2+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)=(a-1)(a+1)(a^2-4)+5a(a+1)(a-1)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a+1)(a-1)`

Dễ thấy `a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)` là $5$ số tự nguyên tiếp nên `a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) \vdots 30`

`a(a+1)(a-1)` là $3$ số nguyên liên tiếp nên `a(a+1)(a-1) \vdots 6=>5a(a+1)(a-1) \vdots 30`

`=>a^5-a \vdots 30`

Tương tự ta có `b^5-b \vdots 30`

`=>a^5b-ab^5 \vdots 30` $(2)$

Từ $(1),(2)$ `=>a^5b-ab^5 \vdots 240`