a. Hàm số y=(m-2)x+m+3 là hàm số bậc nhất $\Leftrightarrow $ m≠2
Để hàm số trên nghịch biến thì m-2<0 $\Rightarrow $ m<2
Vậy m<2 thì hàm số luôn nghịch biến

b. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 nên tọa độ điểm đó là O (3;0) ∈ đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3

$\Leftrightarrow $ 0=(m-2).3+m+3
$\Leftrightarrow $ 0=3m-6+m+3
$\Leftrightarrow $ 6-3=3m+m
$\Leftrightarrow $  2 =  4m
$\Leftrightarrow $  m= 2
Vậy m=2

 
c. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y =-x+2; y=2x-1 ta có:
-x+2=2x-1
$\Leftrightarrow $ -3x=-3
$\Leftrightarrow $ x=1; y= 2.1-1=1
Tọa độ giao điểm của 2 hàm số y =-x+2; y=2x-1 là A(1;1)
Để 3 đường thẳng y =-x+2; y=2x-1 và y=(m-2)x+m+3 đồng quy
thì A(1;1) ∈ đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3
$\Leftrightarrow $ 1=(m-2).1+m+3
$\Leftrightarrow $ 1=m-2+m+3
$\Leftrightarrow $ 2m=0
$\Leftrightarrow $ m=0
Vậy m=0 thì đồ thị hàm số y =-x+2; y=2x-1 và y=(m-2)x+m+3 đồng quy

 
d. Đồ thị hàm số y=(m-2)x+m+3

Đồ thị giao với trục hoành (Ox): y=0$\Rightarrow$ 0=(m-2)x+m+3

$\Rightarrow$  x=$\dfrac{m+3}{2-m}$

Đồ thị giao với trục tung (Oy): x=0$\Rightarrow $ y=(m-2).0+m+3

$\Rightarrow $ y=m+3

Theo đề ta có: $\dfrac{1}{2}|\dfrac{m+3}{2-m}||m+3|=2$

$\Rightarrow \dfrac{(m+3)^2}{|2-m|}=4$

$\Rightarrow$ +) m$^2$+6m+9=4(2-m) (với m<2)

$\Rightarrow$ m$^2$+10m+1=0

$\Rightarrow$ m=$-5\pm2\sqrt6$ (tm)

+) m$^2$+6m+9=4(m-2) (với m>2)

$\Rightarrow$ m$^2$+2m+17=0 vô nghiệm

Vậy m=$-5\pm2\sqrt6$.

~Chúc bạn học tốt^^~