Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để tính $: I = \int\limits{\dfrac{x^{8}}{(x^{4} - 1)^{3} }} \, dx ; J = \int\limits{\dfrac{x^{4}}{(x^{4} - 1)^{3}}} \, dx$

Bằng pp tích phân từng phần trước hết ta tính :

$ K = \int\limits{\dfrac{x^{4}}{(x^{4} - 1)^{2}} } \, dx = - \dfrac{1}{4} \int\limits{x.\dfrac{(- 4x^{3})}{(x^{4} - 1)^{2}} } \, dx $

$ = - \dfrac{1}{4}\int\limits{xd(\dfrac{1}{x^{4} - 1})} = - \dfrac{x}{4(x^{4} - 1)} + \dfrac{1}{4}\int\limits{\dfrac{dx}{x^{4} - 1}} $

$ = - \dfrac{x}{4(x^{4} - 1)} + \dfrac{1}{8}\int\limits{(\dfrac{1}{x^{2} - 1} - \dfrac{1}{x^{2} + 1})} \, dx $

$ = - \dfrac{x}{4(x^{4} - 1)} - \dfrac{1}{16}ln|\dfrac{1 + x}{1 - x}| - \dfrac{1}{8}arctanx + C_{1}(*)$

Từ $ (*)$ và sử dụng pp tích phân từng phần ta có:

$ I = \int\limits{\dfrac{x^{8}}{(x^{4} - 1)^{3}}}\, dx $

$ = - \dfrac{1}{4}\int\limits{\dfrac{x^{5}.(- 4x^{3})}{(x^{4} - 1)^{3}}}\, dx $

$ = - \dfrac{1}{8}\int\limits{x^{5}.d(\dfrac{1}{(x^{4} - 1)^{2}})} $

$ =  - \dfrac{x^{5}}{8(x^{4} - 1)^{2}} + \dfrac{1}{8}\int\limits{\dfrac{d(x^{5})}{(x^{4} - 1)^{2}}} $

$ =  - \dfrac{x^{5}}{8(x^{4} - 1)^{2}} + \dfrac{5}{8}\int\limits{\dfrac{x^{4}dx}{(x^{4} - 1)^{2}}} $

$ =  - \dfrac{x^{5}}{8(x^{4} - 1)^{2}} + \dfrac{5}{8}K (1)$

$ I - J = \int\limits{\dfrac{x^{4}(x^{4} - 1)}{(x^{4} - 1)^{3}}}\, dx $

$ = \int\limits{\dfrac{x^{4}}{(x^{4} - 1)^{2}}}\, dx = K$

$ => J = I - K =  - \dfrac{x^{5}}{8(x^{4} - 1)^{2}} - \dfrac{3}{8}K (2)$

Cậu tự thay $K$ từ $(*)$ vào $(1); (2)$ có $ I;J$