a. Ta có:

OM = MD = $\frac{1}{2}$ OD (vì M là trung điểm của OD)       (1)

ON = NB = $\frac{1}{2}$ OB (vì N là trung điểm của OB)          (2)

Mà tứ giác ABCD là hình bình hành (gt)

⇒OB = OD (t/c)

và OA = OC (t/c)

Từ (1), (2), (3) ⇒OM = ON

 Xét tứ giác AMCN có:

  OM = ON (cmt)

  OA = OC (cmt)

⇒Tứ giác AMCN là hình bình hành (dhnb)

b. Xét tứ giác AECF có:

 AE//CF (cmt)

 AF//CE (vì AB//CD)

⇒Tứ giác AECF là hình bình hành (dhnb)

⇒2 đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của AC                (4)

⇒O là trung điểm của EF                    (5)

⇒E đối xứng với E qua O

c. Vì AC và BD cắt nhau tại O (gt)

Từ (4), (5), (6) ⇒3 đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại O

d. Từ O kẻ OI//AE cắt DC tại I

 Xét ΔDOI có: ME//OI (cách vẽ)

                      OM = MO (gt)

⇒DE = EI (định lí)                        (7)

 Xét ΔACE có: OI//AE (cách vẽ)

                       OA = OC (gt)

⇒EI = IC (định lí)                        (8)

Từ (7) và (8) ⇒ DE = EI = IC

⇒DE = $\frac{1}{2}$ EC

e. Để hình bình hành AMCN là hình chữ nhật thì NM = AC

Mà MN = $\frac{1}{2}$ BD (cmt)

⇒AC = $\frac{1}{2}$ BD

Vậy hình bình hành ABCD có AC = $\frac{1}{2}$ BD thì AMCN là hình chữ nhật

Đáp án +Giải thích các bước giải:

 a) Vì ABCD là HBH

=> OA= OC, OD= OB

=> 1/2 OB= 1/2 OD

=> OM=0N

Xét tứ giác AMCN có:

OA=OC, OM=ON

=> AMCN là HBH ( 2 đường chéo cắt nhau tại TĐ của mooic đường)

b) Vì ABCD là HBH => AB//CD

=> AF// EC(1)

Lại có: AMCN là HBH

=> AM//CN hay AE//FC (2)

từ (1) và (2) => tứ giác AECF là HBH ( dấu hiệu 1)

ta có OA=OC => OE=OF ( 2 đ/c cắt nhau tại tđ )

c) Vì ABCD là HBH

=> AC cắt BD tại O( 3)

lại có AC cắt EF tại O (4)( tứ giác AECF là HBH (cmt))

từ 3 và 4 => AC, BD, EF đồng quy

d) mik chưa nghĩ ra :)))

e) Giả sử tứ giác AMCN là HCN

=> góc A=90 độ

=> HBH ABCD có A= 90