a) ABCD là hình chữ nhật 

⇒ Góc BCD = 90°

⇒ DC ⊥ CB hay NK ⊥ IB

Xét tứ giác BNIK có :

CK = CN (gt)

CB = CI (I đối xứng B qua C)
NK ⊥ IB (cmt)

⇒ BNIK là hình thoi
b)

ABCD là hình chữ nhật 

⇒ Góc DAB = 90°

⇒ ΔABD vuông tại A

⇒ $AB^2 = BD^2 - AD^2$ (Pi-ta-go)

⇒ $AB^2 = 15^2 - 9^2=144$

⇒ AB = 12

ABCD là hình chữ nhật 

⇒ AB = CD và AD = BC

Xét ΔABD và ΔBCD có :

AB = CD

AD = BC

BD chung

⇒ ΔABD = ΔBCD

$S_{ABCD}=S_{ΔABD}+S_{ΔBCD}$

mà ΔABD = ΔBCD (cmt)

⇒$S_{ABCD}=2S_{ΔABD}=2.\frac{1}{2}AD.AB=AD.AB=108cm^2$

c) 
AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)

M là trung điểm AB

N là trung điểm CD

⇒ AM = MB = DN = NC

hay MB = DN

Mà MB // DN (AB // DC do ABCD là hình chữ nhật)

⇒ MBND là hình bình hành

⇒ MD // BN và góc MBN = góc MDN (tính chất hình bình hành)

`a,` Xét tứ giác `BNIK` có :

`C` là trung điểm `BI` ( `I` và `B` đối xứng với nhau qua `C` )

`C` là trung điểm `NK` ( gt )

`->` tứ giác `BNIK` là hình bình hành

lại có : `\hat{BCD} = 90^@` hay `BI \bot NK`

`-> BNIK` là hình thoi

`b,` Áp dụng định lý Py - ta - go vào tam giác vuông `ABD` có :

`AB^2 + AD^2 = BC^2`

`-> AB^2 = BC^2 - AD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144`

`-> AB = 12` ( cm )

Diện tích hình chữ nhật `ABCD` là :

`S_{ABCD} = AB . AD = 12 . 9 = 108` ( `cm^2` )

`c,` Ta có :

`AB = CD` ( `ABCD` là hình chữ nhật )

`MB = \frac{1}{2}AB` ( `M` là trung điểm `AB` )

`DN = \frac{1}{2}CD` ( gt )

`-> MB = DN`

Xét tứ giác `MBND` có :

`MB = DN` ( cmt )

`MB` // `DN` ( vì `AB` // `CD` )

`-> MBND` là hình bình hành

`->` `MD` // `BN`

và `\hat{MBN} = \hat{MDN}` ( 2 góc đối bằng nhau )