Đáp án:

$C.\ 0\leqslant m < 1$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\begin{cases}x^3 + 3xy + x = 4\sqrt{y^3 - y^2} - 3\sqrt y(y - x^2- 1)\quad (1)\\\sqrt{y+x} - \sqrt{y-x} = m\kern111pt (2)\end{cases}\quad (y\geqslant 1)\\
\text{Ta có:}\\
(1)\Leftrightarrow x^3 - 3x^2\sqrt y + 3xy -y\sqrt y + x - \sqrt y = 4y\sqrt{y-1} - 4y\sqrt y + 2\sqrt y\\
\Leftrightarrow \left(x - \sqrt y\right)^3 + x - \sqrt y = \left(\sqrt{y-1} - \sqrt y\right)^3 +\sqrt{y-1} - \sqrt y\\
\text{Đặt}\ \begin{cases}a = x - \sqrt y\\b = \sqrt{y-1} - \sqrt y\end{cases}\\
\text{Ta được:}\\
(1) \Leftrightarrow a^3 + a = b^3 + b\\
\Leftrightarrow a^3 - b^3 + a - b = 0\\
\Leftrightarrow (a-b)(a^2 + ab + b^2 + 1) = 0\\
\Leftrightarrow a = b\\
\Leftrightarrow x - \sqrt y = \sqrt{y-1} - \sqrt y\\
\Leftrightarrow x = \sqrt{y-1}\\
\text{Thay vào $(2)$ ta được:}\\
\sqrt{y + \sqrt{y-1}} - \sqrt{y-\sqrt{y-1}} = m\\
\text{Xét}\ f(y) = \sqrt{y + \sqrt{y-1}} - \sqrt{y-\sqrt{y-1}},\ \ \forall y\geqslant 1\\
\Rightarrow f'(y) = \dfrac12\left(\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{y-1}} + 1}{\sqrt{y+\sqrt{y-1}}} +\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{y-1}} - 1}{\sqrt{y-\sqrt{y-1}}} \right)\geqslant 0\quad \forall y\geqslant 1\\\Rightarrow \text{$f(y)$ đồng biến trên $[1;+\infty)$}\\
\Rightarrow \mathop{\min}\limits_{[1;+\infty)}f(y) = f(1) = 0\\
\text{Ta lại có:}\\
\lim\limits_{y\to +\infty}f(y) = \lim\limits_{y\to +\infty}\left(\sqrt{y + \sqrt{y-1}} - \sqrt{y-\sqrt{y-1}}\right)\\
= \lim\limits_{y\to +\infty}\dfrac{2\sqrt{y-1}}{\sqrt{y + \sqrt{y-1}} + \sqrt{y-\sqrt{y-1}}}=1\\
\text{Khi đó:}\\
\text{Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi}\\
f(y) = m\ \text{có nghiệm}\\
\Leftrightarrow 0 \leqslant m < 1
\end{array}\)