a.

Xét ΔAHE và ΔBHD có:

∠BHD=∠AHE( Đối đỉnh)

∠BDH=∠AEH(=90)

=>ΔAHE đồng dạng ΔBHD (g.g)

=>AH/BH=HE/HD

=>AH.HD=BH.HE(đpcm)

b. Nối F,E,D

Xét ΔCFB và ΔADB có:

∠FBC chung

∠ADB=∠CFB(=90)

=>ΔCFB đồng dạngΔADB(gg)

=> BF/CB=BD/AB

Xét ΔBFD và ΔBCA có

BF/CB=BD/AB(cmt)

∠ABC chung 

=> ΔBFD đồng dạng ΔBCA (cgc)

=> ∠BFD=∠BCA(1)

Chứng minh tương tự:

=> ΔAFE đồng dạng ΔACB(c.g.c)

=> ∠AFE=∠BCA(2)

Từ (1) và (2)

=>∠AFE=∠BFD

Ta có: ∠AFE+∠EFC=90

∠CFD+∠DFB=90

=> ∠EFC=∠CFD

MÀ CF nằm giữa EF  và DF

=> FC là p/g của ∠EFD(3)

chứng minh tương tự <=> EB là p/g∠ DEF(4)

                                              DA là p/g ∠FDE(5)

Mà H là giao điểm của FC,EB,DA(6)

Từ 3,4,5,6=> H là giao điểm các đường p/g ΔDEF

Đáp án

a)AH . HD = BH . HE

b)H là giao điểm các đường phân giác của Δ DEF

Giải thichd các bước làm

a) Xét ΔAHE và ΔBHD có:

∠AEH = ∠BDH (=90)

∠AHE = ∠BHD (2 góc đối đỉnh)

⇒ΔAHE ∞ ΔBHD (g.g)

⇒$\frac{AH}{BH}$  = $\frac{HE}{HD}$ 

⇒AH . HD = BH . HE (đpcm)

b) Nỗi E,D,F

Xét ΔCFB và ΔADB có:

∠ABC chung

∠CFB = ∠ADB (=90)

⇒ΔCFB ∞ ΔADB (g.g)

⇒$\frac{BF}{BC}$ = $\frac{BD}{AB}$ 

Xét ΔBFD và ΔBCA có:

$\frac{BF}{BC}$ = $\frac{BD}{AB}$  (cmt)

∠ABC chung

⇒ΔBFD ∞ ΔBCA (c.g.c)

⇒∠BFD = ∠BCA (2 góc tương ứng)         (1)

CMTT: 

ΔAFE ∞ ACB (c.g.c)

⇒∠AFE = ∠ACB (2 góc tương ứng)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

∠BFD = ∠AFE

Ta có: ∠AFE + ∠EFD + ∠BFD = 180

hay ∠AFE + 90 + ∠BFD = 180

⇒∠AFE + ∠BFD = 90

Mà: ∠EFH + ∠AFE = 90

∠BFFD + ∠HFD =90

⇒∠EFH = ∠HFD

⇒FH là phân giác của ∠DFE trong ΔDEF

⇒H là giao điểm các đường phân giác của Δ DEF (đpcm)