Đáp án:

a) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì hình thoi ABCD cần thêm điều kiện là trở thành hình vuông

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AB (gt)

N là trung điểm của BC (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MN//AC, MN=\dfrac{1}{2}AC$

Chứng minh tương tự

$\to PQ//AC, PQ=\dfrac{1}{2}AC; NP//BD, NP=\dfrac{1}{2}BD$

Xét tứ giác MNPQ:

$MN//PQ\,\,\,(//AC)\\MN=PQ\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác MNPQ là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Ta có: Tứ giác ABCD là hình thoi (gt)

$\to AC\bot BD$

Mà $PQ//AC, NP//BD$ (cmt)

$NP\bot PQ$

$\to$ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

b)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác MNPQ là hình vuông

$\to NP=PQ\\\to \dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}AC\\\to BD=AC$

$\to$ Tứ giác ABCD là hình vuông (hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

$\to$ Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì hình thoi ABCD cần thêm điều kiện là trở thành hình vuông