Đáp án:

a) Tứ giác BMNC là hình thang cân

b) Tứ giác APCE là hình chữ nhật

c) Để tứ giác APCE là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AB (gt)

N là trung điểm của AC (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MN//BC$

$\to$ Tứ giác BMNC là hình thang

Ta có: $\triangle ABC$ cân tại A

$\to\widehat{B}=\widehat{C}$ (2 góc ở đáy)

$\to$ Tứ giác BMNC là hình thang cân (2 góc kề 1 đáy bằng nhau)

b)

Xét tứ giác APCE:

N là trung điểm của AC (gt)

N là trung điểm của PE (gt)

$\to$ Tứ giác APCE là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $\triangle ABC$ cân tại A, đường trung tuyến AP

$\to$ AP đồng thời là đường cao

$\to AP\bot BC\to AP\bot PC$

$\to$ Tứ giác APCE là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

c)

Tứ giác APCE là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác APCE là hình vuông

$\to AP=PC$

Mà $PC=\dfrac{1}{2}{BC}$ (gt)

$\to AP=\dfrac{1}{2}BC$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A (tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông)

$\to$ Để tứ giác APCE là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A