Giải thích các bước giải:

a)ΔABC vuông tại A

Áp dụng định lí Pitago:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

⇒$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5cm$

b)Xét hai tam giác vuông ΔBAF và ΔBKF

Có: $\widehat{BAF}=\widehat{BKF} (gt)$

AF là cạnh chung

⇒ΔBAF=ΔBKF (ch-gn)

⇒BA=BK⇒ ΔABK cân tại B

c)Đặt  M nằm giữa hai điểm A và K

Xét ΔBMA và ΔBMK

Có: BA=BK (cmt)

 $ \widehat{ABM}=\widehat{BMK} (gt)$

BM là cạnh chung

⇒ΔBMA=ΔBMK (c-g-c)

⇒$\widehat{BMA}=\widehat{BMK}$

Ta có: $\widehat{BMA}+\widehat{BMK}=180^{\circ}$

⇒$2\widehat{BMA}=180^{\circ}$

⇒$\widehat{BMA}=90^{\circ}⇒ AK⊥BE$

Mà CH⊥BE

⇒HC//AK

d)Xét hai tam giác vuông ΔCHF và ΔCHE

Có: HF=HE (gt)

CH là cạnh chung

⇒ΔCHF=ΔCHE (ch-gn)

⇒CF=CE⇒ ΔCFE cân tại C

e)ΔABC có BF là phân giác

⇒$\frac{BA}{BC}=\frac{FA}{FC}=\frac{3}{4}$

hay: $\frac{FA}{AC-FA}=\frac{3}{4}$

⇒$4FA=3(5-FA)⇔ 7FA=15⇔ FA=\frac{15}{7} cm$

$FB=5-\frac{15}{17}=\frac{20}{7}cm$

Ta thấy FA<FB

f)Ta có: $\widehat{CFE}=\widehat{BFA}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat{CFE}=\widehat{CEF} (ΔCEF cân)$

⇒$\widehat{BFA}=\widehat{CEF}$

Lại có: $\widehat{BAF}=\widehat{ABF}+\widehat{BFA}=90^{\circ}$

hay: $\widehat{ECB}=\widehat{EBC}+\widehat{CEF}=90^{\circ}$

⇒ΔEBC vuông tại C