a) Ta có

$\vec{AB} = (1,1)$, $\vec{BC} = (2,-2), $\vec{CA} = (3,-1)$

Khi đó

$\vec{AB}. \vec{BC} = 1.2 + 1.(-2) = 0$

Do đó $\vec{AB} \perp \vec{BC}$

Suy ra tam giác ABC vuông tại B.

b) Theo Câu a), ta có

$AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, BC = 2\sqrt{2}, CA = \sqrt{10}$

Vậy chu vi của tam giác ABC là

$P_{ABC} =AB + BC + CA = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10} = 3\sqrt{2} + \sqrt{10}$

Diện tích của tam giác ABC là

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB . BC = \dfrac{1}{2} . \sqrt{2} . 2\sqrt{2} = 2$

c) - Cách 1:

Gọi $O(a,b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Khi đó ta có

$\vec{AO} = (a+2, b+2), \vec{BO} = (a+1, b+1), \vec{CO} = (a-1, b+3)$

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên

$\begin{cases} AO^2 = BO^2\\ AO^2 = CO^2 \end{cases}$

Vậy ta có hệ

$\begin{cases} (a+2)^2 + (b+2)^2 = (a+1)^2 + (b+1)^2\\ (a+2)^2 + (b+2)^2 = (a-1)^2 + (b+3)^2 \end{cases}$

Giải ra ta có

$a = -\dfrac{1}{2}, b = -\dfrac{5}{2}$

Vậy $O(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{5}{2})$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là

$\sqrt{(a+2)^2 + (b+2)^2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$

- Cách 2.

Gọi O là trung điểm AC.

Khi đó tọa độ điểm O là

$O(-\dfrac{1}{2} , -\dfrac{5}{2})$

Khi đó, do tam giác ABC cân tại B nên BO là trung tuyến của tam giác ứng với cạnh huyền nên

$OA = OB  =OC = \dfrac{AC}{2}$

Vậy O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có O là trung điểm BC nên bán kính đường tròn là

$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$

d) Gọi $D(x,y)$ là điểm thỏa mãn tứ giác ABCD là hình bình hành. Khi đó

$\vec{DC} = (1-x,-3-y)$

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên

$\vec{AB} = \vec{DC}$

$<-> (1,1) = (1-x,-3-y)$

Suy ra $x = 0, y= -4$. Vậy $D(0,-4)$

Do đó, với $D(0,-4)$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tuy nhiên, lại có $\widehat{ABC}$ vuông nên nó cũng là hình chữ nhật.

Vậy với $D(0,-4)$ thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật..