Giải thích các bước giải:

a.Ta có : $EF//BC\to\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$ 

                 $DE//AC\to\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BE}{BA}$

$\to\dfrac{AF}{AC}+\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AE}{AB}+\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{AE+BE}{AB}=\dfrac{AB}{AB}=1$

b.Ta có : $\dfrac{S_{AEF}}{S_{BEFC}}=\dfrac{9}{21}$

$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{BEFC}+S_{AEF}}=\dfrac{9}{21+9}$

$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{9}{30}=\dfrac{3}{10}$

Mà $EF//AB\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC}\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2$

$\to (\dfrac{AE}{AB})^2=\dfrac{3}{10}$

$\to \dfrac{AE}{AB}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}$

$\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$

$\to \dfrac{AE}{AB-AE}=\dfrac{\sqrt{30}}{10-\sqrt{30}}$

$\to \dfrac{AE}{BE}=\dfrac{\sqrt{30}}{10-\sqrt{30}}$

Ta có $EF//BC, DE//AC\to\widehat{AEF}=\widehat{EBD},\widehat{BED}=\widehat{EAF}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta EBD(g.g)$
$\to\dfrac{P_{AEF}}{P_{BDE}}=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{\sqrt{30}}{10-\sqrt{30}}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $a) \frac{AF}{AC} + \frac{BD}{BC} = \frac{AE}{AB} + \frac{BE}{BA} = \frac{AE + BE}{AB} =  \frac{AB}{AB} = 1 (1)$ 

b)Theo giả thiết, tính chất phân thức và tính chất đồng dạng của tam giác:

$ \frac{S_{ΔAEF}}{S_{BEFC}} = \frac{9}{21} ⇔ \frac{S_{ΔAEF}}{S_{BEFC} + S_{ΔAEF}} = \frac{9}{21 + 9} ⇔ \frac{S_{ΔAEF}}{S_{ΔABC}} = \frac{9}{30} ⇔ (\frac{AF}{AC})² = \frac{3}{10} ⇔ \frac{AF}{AC} = \sqrt[]{\frac{3}{10}} (2)$                                                     

Từ (1) ở câu a) và (2) $⇒ \frac{BD}{BC} = 1 - \frac{AF}{AC} = 1 - \sqrt[]{\frac{3}{10}}$

$ ⇒ \frac{P_{ΔAEF}}{P_{ΔBDE}} = \frac{AE}{BE} = \frac{AE.AB}{BE.AB}= \frac{AE}{AB}.\frac{AB}{BE} = \frac{AF}{AC}.\frac{BC}{BD}$

$= \sqrt[]{\frac{3}{10}}.[\frac{1}{1 - \sqrt[]{\frac{3}{10}}}] = \frac{\sqrt[]{30} + 3}{7}$