Giải thích các bước giải:

a.Vì AB là tiếp tuyến của (O) $\to AB\perp OB\to\widehat{ABO}=90^o$ 

Do I là trung điểm MN$\to OI\perp MN\to \widehat{AIO}=90^o$

$\to\widehat{ABO}=\widehat{AIO}=90^o\to \Diamond ABOI$ nội tiếp

b.Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O)$\to AB\perp OB,AC\perp OC\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính AO

Kết hợp với câu a $\to A,B,I,O,C\in$ đường tròn đường kính AO

$\to\widehat{CED}=\widehat{CBD}=\widehat{CBO}=\widehat{COB}=\widehat{BAO}$

c.Vì $A,B,I,O,C\in$ đường tròn đường kính AO

$\to\widehat{IOB}=\widehat{BCI}=\widehat{BCE}=\widehat{BDE}\to OI//DE$

Mà $BE\perp DE$ vì BD là đường kính của (O)
$\to OI\perp BE$

d.Ta có PQ là đường kính của (O)$\to PT\perp TQ$

Ta có $\widehat{FIB}=\widehat{FCA}$ vì $A,B,I,O,C\in$ 1 đường tròn

Mà $\widehat{BFI}=\widehat{AFC}\to\Delta FBI\sim\Delta FAC(g.g)$

$\to\dfrac{FB}{FA}=\dfrac{FI}{FC}\to FB.FC=FA.FI$

Mà $\widehat{BPF}=\widehat{FCT}, \widehat{BFP}=\widehat{TFC}$

$\to\Delta BFP\sim\Delta TFC(g.g)\to\dfrac{FB}{FT}=\dfrac{FP}{FC}\to FB.FC=FP.FT$

$\to FP.FT=FI.FA$

$\to\dfrac{FP}{FI}=\dfrac{FA}{FP}$

Mà $\widehat{PFI}=\widehat{AFT}$

$\to\Delta FIP\sim\Delta FTA(c.g.c)$

$\to \widehat{ATF}=\widehat{PIF}=90^o\to AT\perp FT\to PT\perp AT$ vì $OI\perp MN$

Lại có $PT\perp TQ\to A,T,Q$ thẳng hàng