Đặt $t = x + 1$. Khi đó ta có $x - 1 = t-2, x + 3 = t + 2$.

Khi đó ptrinh trở thành

$(t-2)^5 + (t+2)^5 = 242t$

$<-> (t - 2 + t + 2)[(t-2)^4 - (t-2)^3(t+2) + (t-2)^2 (t+2)^2 - (t-2)(t+2)^3 + (t+2)^4] = 242t$

$<-> 2t [(t-2)^4 - (t-2)^3(t+2) + (t-2)^2 (t+2)^2 - (t-2)(t+2)^3 + (t+2)^4] = 242t$

$<-> t [(t-2)^4 - (t-2)^3(t+2) + (t-2)^2 (t+2)^2 - (t-2)(t+2)^3 + (t+2)^4] = 121t$

Vậy $t = 0$ hay $x = -1$ hoặc

$(t-2)^4 - (t-2)^3(t+2) + (t-2)^2 (t+2)^2 - (t-2)(t+2)^3 + (t+2)^4 = 121$

$<-> (t^4 - 8t^3 + 24t^2 - 32t + 16) - (t^4 - 4t^3 + 16t - 16) + (t^4 - 8t^2 + 16)  - (t^4 + 4t^3 - 16t - 16) + (t^4 + 8t^3 + 24t^2 + 32t + 16) = 121$

$<-> t^4 + 40t^2 + 80 = 121$

$<-> t^4 + 40t^2 -41 = 0$

$<-> (t^2-1)(t^2 + 41) = 0$

Do $t^2  \geq 0$ nên $t^2+41 \geq 41 > 0$

Suy ra

$t^2 - 1 = 0$

$<-> (t-1)(t+1) = 0$

Vậy $t = 1$ hoặc $t = -1$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = -2$.

Vậy tập nghiệm $S = \{ -1, 0, -2 \}$.