Đáp án:

a)

+, Xét tam giác ABC có:

AD = DB (gt)

BF = FC (gt)

⇒ DF là đường trung bình của tam giác ABC (t/c)

⇒ $\left \{ {{DF // AC (t/c) ⇒ DF // AE} \atop {DF = \frac{1}{2}AC = AE (t/c)}} \right.$

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành (dhnb).

b)

+, Tứ giác AEFD là hình bình hành (cmt) ⇒ DE ∩ AF tại trung điểm mỗi đường (t/c)

⇒ IA = IF (t/c)

+, Xét tam giác ACF có:

IA = IF (cmt)

FJ = JC (gt)

⇒ JI là đường trung bình của tam giác ACF (t/c)

⇒ JI  = $\frac{1}{2}$ AC (1)

+, Xét tam giác ABH có:

góc H = 90 độ

AE = EC (gt)

⇒ HE = $\frac{1}{2}$ AC (đ/lý) (2)

+, (1), (2) ⇒ JI = HE = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{AC}{2}$

+, Xét tam giác ABC có:

DA = DB (gt)

EA = EC (gt)

⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC (t/c)

⇒ DE // BC (t/c) ⇒ IE // HJ

mà JI = HE (cmt) ⇒ tứ giác HIEJ là hình thang cân (dhnb).

c)

+, Có DE là đường trung bình của tam giác ABC (cmt)

DE = FC

mà FC = CO (gt)

⇒ CO = DE

mà DE // BC (cmt) ⇒ DE // CO

+, Xét tứ giác DEOC có:

CO = DE

DE // CO

⇒ Tứ giác DEOC là hình bình hành (dhnb)

⇒ EK = KC

mà EK + KC = EC = AE

⇒ $\left \{ {{EK = KC = \frac{1}{4} AC} \atop {AK = \frac{3}{4} AC}} \right.$

⇒ $\frac{AK}{CK}$ = 3