Đáp án:

$q=\pm 15(TM).$

Giải thích các bước giải:

$x^2 -qx+50=0$

Phương trình có $2$ nghiệm

$\Rightarrow \Delta \ge 0 \\ \Leftrightarrow q^2-200 \ge 0\\ \Leftrightarrow q^2\ge 200\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q \ge 10\sqrt{2} \\q \le -10\sqrt{2} \end{array} \right.$

Gọi $x_1, x_2$ là $2$ nghiệm của phương trình và thoả mãn $x_1=2x_2$

Vi_et: $x_1+x_2=q$

$\Leftrightarrow 3x_2=q$

$x_2$ là nghiệm phương trình

$\Rightarrow x_2^2 -qx_2+50=0\\ \Leftrightarrow x_2^2 -3x_2.x_2+50=0\\ \Leftrightarrow -2x_2^2+50=0\\ \Leftrightarrow x_2^2=25\\ \Leftrightarrow x_2=\pm 5\\ \Rightarrow q=3x_2=\pm 15(TM).$

Áp dụng định lí Viét:

$\begin{cases} x_1+x_2=q(1)\\ x_1x_2=50(2) \end{cases}$

Giả sử $x_2$ là nghiệm lớn của PT

$\Rightarrow x_2=2x_1$

Thay vào $(2)$ ta có $2x_1^2=50\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x_1=5\\x_1=-5\end{array} \right.$

Với $x_1=5\Leftrightarrow x_2=10$

Khi đó $q=10+5=15$

Với $x_1=-5\Leftrightarrow x_2=-10$

Khi đó $q=-5-10=-15$

Vậy khi $q=15$ thì $S=\left\{5;10\right\}$ và khi $q=-15$ thì $S=\left\{-5;-10\right\}$