a) Ta có:

$\widehat{M_1}=\widehat{A_1}$ (so le trong)

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

$\widehat{C_1}=\widehat{ADM}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{ADM}$

$\Rightarrow\Delta ADM$ cân đỉnh A nên $AD=AM$

b) Ta có: $\widehat{BOM}=2\widehat{C_1}=2.60^o=120^o$ (góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ O lên MB

$\Delta OMB$ cân đỉnh O (vì $OM=OB=R$)

Nên $OH$ là đường cao cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác nên $\widehat{HOM}=60^o$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta OHM\bot H$ có:

$\sin\widehat{HOM}=\dfrac{MH}{OM}$

$\Rightarrow MB=2MH=2OM\sin60^o=R\sqrt3$

c) Xét $\Delta IAN$ và  $\Delta IBC$ có:

$\widehat{AIN}=\widehat{BIC}$ (đối đỉnh)

$\widehat{NAI}=\widehat{CBI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

$\Rightarrow\Delta IAN\sim\Delta IBC$

$\Rightarrow\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{IN}{IC}$

$IA=IC$ (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\Rightarrow IA^2=IN.IB$

d) $\widehat{NAI}=\widehat{NBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung NC)

$\widehat{IBC}=\widehat{IDA}$ (so le trong)

$\Rightarrow\widehat{NAI}=\widehat{IDA}$

mà $\widehat{IDA}$ là góc nội tiếp chắn cung AN,

$\Rightarrow NAI$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng AN, nên AI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADN$.