a)

Xét $\Delta MKN$ và $\Delta MKP$

MK: chung

$\widehat{MKN}=\widehat{MKP}\,(=90^o)$

MN=MP ($\Delta MNP$ cân tại M)

$\to \Delta MKN=\Delta MKP$ (c.g.c)

$\to$ KN=KP (2 cạnh tương ứng)

b)

MK là đường cao của $\Delta MNP$ cân nên MK đồng thời là phân giác

$\to \widehat{EMK}=\widehat{FMK}$

Xét $\Delta MEK$ và $\Delta MFK$:

$\widehat{MKE}=\widehat{MKF}\,(=90^o)$

MK: chung

$\widehat{EMK}=\widehat{FMK}$ (MK là phân giác)

$\to \Delta MEK=\Delta MFK$ (g.c.g)

$\to$ EK=FK (2 cạnh tương ứng)

c)

$\Delta MEK=\Delta MFK$ (cmt)

$\to$ ME=MF (2 cạnh tương ứng)

$\to \Delta MEF$ cân tại M

d)

Xét $\Delta MKP$ vuông tại M:

$MP^2=MK^2+KP^2$ (định lí Pytago)

$\to MK^2=MP^2-KP^2$ (1)

mà NK=KP (MK là đường cao đồng thời là trung tuyến)

$\to MK^2=MP^2-NK^2$

Xét $\Delta MFK$ vuông tại F:

$MK^2=MF^2+FK^2$ (định lí Pytago)

mà EK=FK (cmt)

$\to MK^2=MF^2+EK^2$ (2)

Từ (1), (2) $\to MP^2-NK^2=MF^2+KE^2$  (đpcm)