$\textit{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

`(m+1)x^2+4mx+4m-1=0` `(m \ne -1)`

$Δ'=b'^2-ac=4m^2-4m^2-3m+1=-3m+1$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ' \ge 0⇔m \leq \dfrac{1}{3}$

Theo Viét có $\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{4m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{4m-1}{m+1} \end{cases}$

`x_1=x_2<=>3x_2=-(4m)/(m+1)<=>x_2=-(4m)/(3(m+1))`

`=>x_1=-(4m)/(m+1)+(4m)/(3(m+1))<=>x_1=(-8m)/(3(m+1))`

`x_1x_2=(4m-1)/(m+1)`

`<=>(-4m)/(3(m+1)).(-8m)/(3(m+1))=(4m-1)/(m+1)`

`<=>(32m^2)/(9m+9)=4m-1`

`<=>32m^2=(9m+9)(4m-1)`

`<=>32m^2=36m^2+27m-9`

`<=>36m^2+27m-9-32m^2=0`

`<=>4m^2+27m-9=0`

`Δ=b^2-4ac=27^2-4.4.(-9)=873>0`

phương trình có hai nghiệm phân biệt

`m_1=(-b+\sqrt{Δ})/(2a)=(-27+\sqrt{873})/(2.4)=(-27+\sqrt{873})/8`

`m_2=(-b-\sqrt{Δ})/(2a)=(-27-\sqrt{873})/(2.4)=(-27-\sqrt{873})/8`

Vậy với `m \in {(-27+\sqrt{873})/8;(-27-\sqrt{873})/8}` thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn `x_1=2x_2`

Đáp án:

Với $m = - 1$ thì phương trình trở thành: - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}$

Vậy với $x = - 1$ không thõa mãn bài toán:

*) Vơi $ m \neq 1$ ta có: 

$\Delta ' = 92m)^2 - (m + 1)(4m - 1) = 4m^2 - (4m^2 + 4m - m - 1) = 4m^2 - 4m^2 - 3m + 1$

$\Delta ' = - 3m + 1$ 

Để phương trình có hai nghiệm thì: 

$\Delta ' \geq 0 \Leftrightarrow - 3m + 1 \geq 0 \Leftrightarrow - 3m \geq - 1\Leftrightarrow m \leq \dfrac{1}{3}$

Khi đó ta có: 

$x_1 + x_2 = \dfrac{4m}{m + 1}$        (1)

$x_1.x_2 = \dfrac{4m - 1}{m + 1}$      (2)

Theo bài ra ta có: $x_1 = 2x_2$      (3)

Thay (3) vào (2) ta được: 

$3x_2 = \dfrac{4m}{m + 1} \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{4m}{3(m + 1)}$ 

Thay vào (3) ta được: $x_1 = \dfrac{8m}{3(m + 1)}$

Thay $x_1$ và $x_2$ vào (2) ta được: 

$\dfrac{4m}{3(m + 1)}.\dfrac{8m}{3(m + 1)} = \dfrac{4m - 1}{m + 1}$

Suy ra: 

$\dfrac{4m}{3} . \dfrac{8m}{3(m + 1)} = 4m$

$\Leftrightarrow \dfrac{32m^2}{9(m + 1)} = 4m$

$\Leftrightarrow 32m^2 = 36m(m + 1)$

$\Leftrightarrow 32m^2 = 36m^2 + 36m$

$\Leftrightarrow 4m^2 + 36m = 0 \Leftrightarrow 4m(m + 9) = 0$

$\Leftrightarrow m = 0$ hoặc m = - 9$

Đối chiếu với điều kiện ta có hai giá trị $m$ thõa mãn là: 

     $m = 0$          $m = - 9$

Giải thích các bước giải: