Đáp án:

Min của BT `=2005 <=> x \in {\sqrt{5} - 5 ; -\sqrt{5}-5}` 

Giải thích các bước giải:

`(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2021`

`= (x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+2021`

`= (x^2+10x + 16)(x^2+10x+24)+2021`

Đặt `t =x^2+10x+16`

Khi đó :   

`t(t+8) +2021`   

`= t^2+8t+2021` 

`= t^2+ 2 . t . 4 + 16+2005` 

`=(t+4)^2+2005 \ge 2005 AA x`

Dấu `=` xảy ra :

`<=> t+4 = 0`

`<=>t  = -4`

`<=> x^2+10x+16 =-4`

`<=> x^2+10x + 20 =0`

`<=>  x^2+ 2 . x. 5 +25 -5 =0`

`<=> (x+5)^2 =5`

`<=> x +5 = \sqrt{5}` hoặc `x+5 =-\sqrt{5}`

`<=> x = \sqrt{5} -5` hoặc `x = -\sqrt{5} -5`   

Vậy Min của BT `=2005 <=> x \in {\sqrt{5} - 5 ; -\sqrt{5}-5}`  

Đặt $A=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2021$

$=[(x+2)(x+8)][(x+4)(x+6)]+2021\\=(x^2+8x+2x+16)(x^2+6x+4x+24)+2021\\=(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)+2021$

Đặt $t=x^2+10x+16$

$=t(t+8)+2021\\=t^2+8t+ 16+2005\\=(t+4)^2 +2005\\=(x^2+10x+20)^2 + 2005\ge 2005$

Dấu "$=$" xảy ra khi :

$x^2+10x+20=0\\⇔ x^2+10x+25=5\\⇔ (x+5)^2=5\\⇔ \left[ \begin{array}{l}x+5=\sqrt{5}\\x+5=-\sqrt{5}\end{array} \right.\\⇔\left[ \begin{array}{l}x=-5+\sqrt{5}\\x=-5-\sqrt{5}\end{array} \right.$

Vậy $A_{min}=2005 ⇔\left[ \begin{array}{l}x=-5+\sqrt{5}\\x=-5-\sqrt{5}\end{array} \right.$