Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông tại A

$\to BC^2=AB^2+AC^2\to AC^2=BC^2-AB^2=400\to AC=20$

Vì $AH\perp BC\to AH.BC=AB.AC=2S_{ABC}$

$\to AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=12$

b.Ta có $AB\perp AC,AH\perp BC\to\widehat{BAH}=\widehat{ACH}(+\widehat{HAC}=90^o),\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\to AH^2=HB.HC$

c.Từ câu b

$\to\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2BE}{2AF}$ vì E,F là trung điểm BH,AH

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{AF}\to\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$

d.Vì $\Delta ABH\sim\Delta CAH(câu b)$

Do E,F là trung điểm BH,AH

$\to\Delta ABE\sim\Delta CAF$

e.Vì E,F là trung điểm HB,HA

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta HAB\to EF//AB\to EF\perp AC(AB\perp AC)$

Mà $AH\perp BC\to F$ là trực tâm $\Delta ACE\to CI\perp AE$

Ta có : $BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$

$\to BE=\dfrac12BH=\dfrac92$

$\to CE=BC-BE=25-\dfrac92=\dfrac{41}{2}$

Mà $EF//AB\to \dfrac{EK}{AB}=\dfrac{CE}{CB}$

$\to EK=\dfrac{CE.AB}{CB}=\dfrac{123}{10}$

Vì $EF$ là đường trung bình $\Delta AHB\to EF=\dfrac12AB=\dfrac{15}{2}$

$\to FK=EK-EF=\dfrac{123}{10}-\dfrac{15}{2}=\dfrac{24}{5}$