Đáp án:

K(1;2) ;P (-1;1)

A(-3;10) giá trị nhỏ nhất $(AM+AN )_{min}=2\sqrt{85}$

Giải thích các bước giải:

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_{d}$=(2;1)

Suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}_{d}$=(1;-2)

Dó đó vectơ pháp  tuyến của đường thẳng MK là $\overrightarrow{n}_{MK}$=$\overrightarrow{u}_{d}$=(1;-2)

Phương trình đường thẳng MK là 1(x-3)-2(y-3)=0 hoặc x-2y+3=0

Toạ đọ diểm K là nghiệm của hệ phương  trình:

$\left\{\begin{matrix}
\\ x-2y+3=0
\\ 2x+y-4=0

\end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình trên ta được (x;y)=(1;2). Do đó K(1;2)

Vì P đối xứng với M qua K nên K là trung điểm của MP.

Và Toạ độ điểm P thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix}
\\ x_{P}=1.2-3=-1
\\ y_{P}=2.2-3=1

\end{matrix}\right.$

Vậy P (-1;1)

AM+AN min :AM>0 và AN>0

Áp dụng bất đẳng thức cô- si : tổng của hai số là nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau:

Do dó AM+AN min khi và chỉ khi AM=AN

Do điểm A thuộc đường thẳng d nên: A(a;4-2a)

AM=AN $\Leftrightarrow  AM^2=AN^2$

$\Leftrightarrow (a-3)^2+(1-2a)^2=(a+5)^2+(-15-2a)^2$

Giải phương trình trên ta được a=-3 

Suy ra A(-3;10) giá trị nhỏ nhất $(AM+AN )_{min}=2\sqrt{85}$