`\text{a) Xét Δ vuông MNH và Δ vuông INH có :}` 

`NH \text{chung}`

`\hat{N1} = \hat{N2} \text{(NH là phân giác)}` 

`\text{=> Δ vuông MNH và Δ vuông INH (c.h-g.n)}`

`text{=> NM = NI => ΔMNI cân tại N}`

`\text{b) Ta có : ΔMNI cân tại N}`

`\text{    Mà :} \hat{N} = 60^0`

`\text{=> ΔMNI đều}`

`\text{c) Vì NH là phân giác} \hat{N} \text{nên :}`

`=> \hat{N1} = \hat{N2} = (\hat{N})/2 = 60^0/2 = 30^0` 

`\text{Trong ΔMNP vuông tại M có} : \hat{N} = 60^0 => \hat{P} = 30^0`

`\text{Ta có :} \hat{N2} = \hat{P} = 30^0 => \text{Δ HNP cân tại H => HN = HP}`

`text{Xét Δ vuông NHI và Δ vuông PHI có :}`

`HI chung`

`NH = PH (cmt)`

`=> \text{Δ vuông NHI và Δ vuông PHI (c.h-c.g.v)}`

`=> NI = IP = 8 cm` 

`\text{Ta có : NP = NI + IP = 8 + 8 = 16 cm}`    

Đáp án:

`a,`

Xét `ΔMNH` và `ΔINH` có :

`hat{HMN} = hat{HIN} = 90^o`

`NH` chung

`hat{MNH} = hat{INH}` (giả thiết)

`-> ΔMNH = ΔINH` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔMNH = ΔINH` (chứng minh trên)

`-> MN = IN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔMNI` cân tại `N`

mà `hat{N} = 60^o`

`-> ΔMNI` đều

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔMNP` có :

`hat{M} + hat{N} + hat{P} = 180^o`

`-> hat{P} = 180^o - 90^o - 60^o`

`-> hat{P} = 30^o`

Xét `ΔMNP` vuông tại `M` có :

`hat{P} = 30^o`

Áp dụng tính chất trong `Δ` vuông, cạnh đối diện với góc có số đo bằng `30^o` sẽ bằng `1/2` cạnh huyền

`-> MN = 1/2 PN`

`-> 8 = 1/2 PN`

`-> PN = 16cm`