a) Xét ΔADB có

Q là trung điểm của AD(gt)

M là trung điểm của AB(gt)

Do đó: QM là đường trung bình của ΔADB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒QM//DB và QM=DB2QM=DB2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔCDB có

P là trung điểm của CD(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: PN là đường trung bình của ΔCDB(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒PN//DB và PN=DB2PN=DB2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra QM//PN và QM=PN

Xét tứ giác MNPQ có QM//PN(cmt) và QM=PN(cmt)

nên MNPQ là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật khi PQMˆ=900PQM^=900

hay QM⊥QP

Xét ΔDAC có

Q là trung điểm của AD(gt)

P là trung điểm của CD(gt)

Do đó: QP là đường trung bình của ΔDAC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒QP//AC và QP=AC2QP=AC2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: QP⊥QM(cmt)

QP//AC(cmt)

Do đó: QM⊥AC(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Ta có: QM⊥AC(cmt)

QM//DB(cmt)

Do đó: AC⊥DB(định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC⊥DB thì hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật

b) Hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi khi QM=QP

mà QM=DB2QM=DB2(cmt)

và QP=AC2QP=AC2(cmt)

nên DB=AC

Vậy: Khi tứ giác ABCD có AC=DB thì hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi

c) Hình bình hành MNPQ trở thành hình vuông khi MNPQ vừa là hình chữ nhật và vừa là hình thoi

⇔DB⊥AC và DB=AC

Xét tam giác `BAC` có `:`

`M,N` lần lượt là trung điểm của `AB` và `BC`

`⇒ MN` là đường trung bình

`⇒ MN//AC;AC=2MN`

Xét tam giác `DAC` có `Q,P` lần lượt là trung điểm của `DA` và `DC`

`⇒ QP` là đường trung bình 

`⇒ QP//AC;AC=2QP`

`⇒ QP//MN;MN=QP`

`⇒ MNPQ` là hình bình hành

+Để hình bình hành `MNPQ` là hình chữ nhật thì phải có `1` góc = `90`

`⇒AC⊥BD`

+Để hình bình hành `MNPQ` là hình thoi thì `4` cạnh bằng nhau

`⇒ AC=BD`

`⇒ ABCD` là hình thang cân

+ Để `MNPQ` là hình vuông thì `ABCD` là hình thang cân có `2` đường chéo vuông góc