Đáp án:

a) Tứ giác ANBM là hình thoi

b) Để tứ giác ANBM là hình thoi thì tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

c) Tứ giác KMHI là hình thang cân

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của BC (gt)

I là trung điểm của AB (gt)

$\to$ MI là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MI//AC, MI=\dfrac{1}{2}AC$

Mà $AB\bot AC$

$\to MI\bot AB\to MN\bot AB$

Xét tứ giác ANBM:

I là trung điểm của AB (gt)

I là trung điểm của MN (gt)

$\to$ Tứ giác ANBM là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $MN\bot AB$ (cmt)

$\to$ Tứ giác ANBM là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

b)

Tứ giác ANBM là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác ANBM là hình vuông

$\to AM\bot MB\to AM\bot BC$

$\to$ AM là đường cao

Mà AM là đường trung tuyến (gt)

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác ANBM là hình thoi thì tam giác vuông ABC cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

c)

Xét $\triangle ABC$:

I là trung điểm của AB (gt)

K là trung điểm của AC (gt)

$\to$ IK là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to IK//BC\to IK//HM\,\,\,(H, M\in BC)$

$\to$ Tứ giác KMHI là hình thang

Ta có: $\triangle AHC$ vuông tại H, đường trung tuyến HK

$\to HK=\dfrac{1}{2}AC$

Mà $MI=\dfrac{1}{2}AC$ (cmt)

$\to HK=MI$

$\to$ Tứ giác KMHI là hình thang cân (hình thang có 2 đường chéo bằng nhau)