Đáp án:

a) Xét tứ giác AIHK có: 3 góc vuông tại A,I,K

=> AIHK là hình chữ nhật

b) Xét ΔABH và ΔCAH có:

+ góc AHB = góc CHA  = 90 độ

+ góc ABH = góc CAH (cùng phụ với góc ACB)

=> ΔABH ~ ΔCAH (g-g)

$ \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = BH.CH$

c)

Do AIHK là hình chữ nhật nên góc AKI = góc AHI

Lại có: góc AHI = góc IBH (cùng phụ với góc IHB)

=> góc AKI = góc IBH

Xét ΔAKI và ΔABC có:

+ góc A chung

+ góc AKI = góc ABC (cmt)

=> ΔAKI ~ ΔABC (g-g)

d) AH = IK = 4cm

$\begin{array}{l}
Do:\Delta AKI \sim \Delta ABC\\
 \Rightarrow \frac{{{S_{AKI}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{KI}}{{BC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{{10}}} \right)^2} = \frac{4}{{25}}\\
 \Rightarrow {S_{AKI}} = \frac{4}{{25}}.\frac{1}{2}.AH.BC = \frac{2}{{25}}.4.10 = \frac{{16}}{5}\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}$