Đáp án:

a) Theo Pytago trong tam giác ABC vuông tại A có:

$\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Rightarrow A{C^2} = {15^2} - {9^2} = 144\\
 \Rightarrow AC = 12\left( {cm} \right)
\end{array}$

b) Xét ΔEBA và ΔEBD vuông tại A và D có:

+ BE chung

+ BA = BD

=> ΔEBA = ΔEBD (ch-cgv)

c) Xét ΔDCE và ΔDCF có:

+ góc EDC = góc FDC = 90 độ

+ DC chung

+ DE = DF

=> ΔDCE = ΔDCF (c-g-c)

=> góc DCE = góc DCF 

d) 

Ta có góc DCE = góc DCF = góc ECF/2 = 30 độ

=> DM = DN = DC/2=10/2 = 5cm

Gọi MN cắt CD tại H

Ta cm được: ΔDMH = ΔDNH 

=> góc DHM = góc DHN = 90 độ và MH = NH

=> góc HMD = góc HND = 30 độ 

=> DH = DM/2= 2,5

Áp dụng Pytago:

$\begin{array}{l}
D{M^2} = D{H^2} + M{H^2}\\
 \Rightarrow M{H^2} = {5^2} - 2,{5^2} = \frac{{75}}{4}\\
 \Rightarrow MH = 4,33\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow MN = 2MH = 8,66\left( {cm} \right)
\end{array}$