Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A, H$ là trung điểm $BC$

$\to AH\perp CB$

Xét $\Delta CHA,\Delta CIH$ có:
Chung $\hat C$

$\widehat{CHA}=\widehat{CIH}(=90^o)$

$\to\Delta CHA\sim\Delta CIH(g.g)$

$\to \dfrac{CH}{CI}=\dfrac{HA}{IH}$

b.Ta có:

$\widehat{AHO}=\widehat{AHC}-\widehat{CHI}=90^o-\widehat{CHI}=\widehat{ICH}=\widehat{ICB}$

Ta có $\dfrac{CH}{CI}=\dfrac{HA}{IH}$

$\to \dfrac{2CH}{CI}=\dfrac{2HA}{HI}$

$\to \dfrac{2CH}{CI}=\dfrac{2HA}{2HO}$ vì $O$ là trung điểm $HI$

$\to \dfrac{BC}{CI}=\dfrac{HA}{HO}$

Kết hợp $\widehat{AHO}=\widehat{ICB}$

$\to\Delta AHO\sim\Delta BCI(c.g.c)$

c.Gọi $E$ là trung điểm $CI$

Vì $H, O$ là trung điểm $BC, HI$

$\to HE, OE$ là đường trung bình $\Delta CBI,\Delta ICH$

$\to HE//BI, OE//BC$

Mà $AH\perp BC\to OE\perp AH$

Lại có $HI\perp AC\to HO\perp AE$

$\to O$ là trực tâm $\Delta AHE$

$\to AO\perp HE$

$\to AO\perp BI$ vì $BI//HE$