$\text{ Bài 1: a) Xét tam giác ABD và tam giác EBD ta có: }$

$\text{ DB chung}$

$\text{ góc BAD = góc BED = 90 độ}$

$\text{ BE = BA (gt)}$

$\text{ => tam giác ABD= tam giác EBD (cạnh huyền-cạnh góc vuông)}$

$\text{ => góc ABD = góc EBD ( 2 góc tương ứng)}$

$\text{ => BD là tia phân giác của góc ABC}$

$\text{ hay BD là tia phân giác củatam giác ABC}$

.

$\text{ b) Xét tam giác BEK và tam giác BAC ta có:}$

$\text{ góc B chung}$

$\text{ góc BEK = góc BAC = 90 độ}$

$\text{ BE = BA (gt)}$

$\text{ => tam giác BEK=tam giác BAC (g-c-g)}$

.

$\text{ c) Theo câu a; tam giác ABD= tam giác EBD}$

$\text{ => AD = ED}$

$\text{ => tam giác ADE cân (1)}$

$\text{ Xét tam giác ADK và tam giác EDC ta có:}$

$\text{ góc DAK = góc DEC = 90 độ}$

$\text{ góc ADK = góc EDC (đối đỉnh)}$

$\text{ AD=DE (cmt)}$

$\text{ => tam giác ADK = tam giác EDC (g-c-g)}$

$\text{ => DK=DC}$

$\text{ => tam giác DKC cân  (2)}$

$\text{ mà góc ADE = KDC (đối đỉnh) (3)}$

$\text{ => Từ (1) (2) (3) => góc DAE = góc DEA = góc DKC  =góc DCK}$

$\text{ => góc DAE =góc DCK}$

$\text{ mà chúng ở vị trí 2 góc so le trong}$

$\text{ => AE // KC (dấu hiệu)}$

.

$\text{ d) Theo câu a tam giác ABD= tam giác EBD}$

$\text{ => góc ADB = góc EDB (2 góc tương ứng)}$

$\text{ mà góc ADB = góc CDI}$

$\text{ góc EDB = góc KDI}$

$\text{ => góc CDI = góc KDI}$

$\text{ Xét tam giác KDI và tam giác CDI ta có:}$

$\text{ góc DKI = góc DCI (tam giác DKC cân chứng minh ở trên)}$

$\text{ góc CDI = góc KDI ( cmt)}$

$\text{ DK =DC (tam giác DKC cân chứng minh ở trên)}$

$\text{ => tam giác KDI = tam giác CDI (g-c-g)}$

$\text{ => góc KID = góc CID ( 2 góc tương ứng) (4)}$

$\text{ mà do K, I, C thẳng hàng nên góc KID + góc CID = 180 độ (5)}$

$\text{ Từ (4) và (5) => góc KID = góc CID = 180 : 2= 90 độ}$

$\text{ => DI vuông góc KC tại I}$

$\text{ mà KC//AE (câu c)}$

$\text{ => DI vuông góc AE  (6)}$

.

$\text{ do tam giác ABD= tam giác EBD (câu a)}$

$\text{ => góc ABD = góc EBD}$

$\text{ Gọi giao điểm AE và BD là O}$

$\text{ Xét tam giác ABO và tam giác EBO ta có:}$

$\text{ góc ABD = góc EBD (CMT)}$

$\text{ AB = BE}$

$\text{ BO chung}$

$\text{ => tam giác ABO và tam giác EBO (c-g-c)}$

$\text{ => góc AOB = góc EOB}$

$\text{ mà góc AOB + góc EOB = 180 độ}$

$\text{ => góc AOB = góc EOB = 180 độ : 2 =90 độ}$

$\text{ => BO vuông góc AE}$

$\text{ hay BD vuông góc AE (7)}$

$\text{ Từ (6) và (7) => DI//BD}$

$\text{ => 3 điểm B,D,I thẳng hàng}$

.

$\text{ Bài 2: a) Xét tam giác ENC và tam giác END ta có:}$

$\text{ EC = ED (2 cạnh bên tam giác CDE cân tại E)}$

$\text{ EN chung}$

$\text{ CN=ND (N là trung điểm của CD)}$

$\text{ => tam giác ENC=tam giác END (c-c-c)}$

.

$\text{ b) theo câu a, tam giác ENC=tam giác END}$

$\text{ => góc ENC = góc END ( 2 góc tương ứng)}$

$\text{ mà C, N, D thẳng hàng nên góc ENC + góc END = 180 độ}$

$\text{ => góc ENC = góc END= 180 độ : 2 =90 độ}$

$\text{ => EN vuông góc CD }$

.

$\text{ c) Do EN vuông góc CD }$

$\text{ => tam giác END vuông tại N}$

$\text{ Theo định lý pitago ta có:}$

EN = $\sqrt[]{ED^2-ND^2}$ = $\sqrt[]{13^2-(10:2)^2}$ = $\sqrt[]{13^2-5^2}$ = $\sqrt[]{144}$ = $12$

.

$\text{ d) Xét tam giác CDN và tam giác DMN ta có:}$

$\text{ CN = ND}$

$\text{ góc CDN = góc DMN = 90 độ}$

$\text{ góc DCN = góc MDN (tam giác ECD cân)}$

$\text{ => tam giác CDN = tam giác DMN ( cạnh huyền-góc nhọn)}$

$\text{ => DN=MN ( 2 cạnh tương ứng)}$

$\text{ => tam giác NPM cân}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: