Hướng dẫn chứng minh như sau :

a,

`hat{B_1}=45^o->hat{EMB}=45^o`

`->hat{B_1}=hat{EMB}=45^o`

Chứng minh được `AEMF` là hình chữ nhật

`->AM=EF, hat{EMF}=90^o, AE=FM, AF=EM`

`hat{EMB}+hat{EMF}+hat{FMD}=180^o`

`->hat{FMD}=45^o` mà `hat{D_1}=45^o`

`->hat{FMD}=hat{D_1}=45^o`

`->\triangle DFM` vuông cân tại `F-> FM=DF=AE`

Xét `\triangle ADE` và `\triangle  DCF` có :

`AD=DC, AE= DF,hat{DAE}=hat{FDC}=90^o`

`->\triangle ADE=\triangle DCF` (c.g.c)

`->hat{ADE}=hat{C_1}`

`hat{ADE}+hat{EDC}=90^o->hat{EDC}+hat{C_1}=90^o`

`-> DE\bot CF`

Khá dễ dàng chứng minh được `\triangle ABM=\triangle CBM` (c.g.c)

`-> AM=CM` mà `AM=EF`

`->EF=CM`

b,

Chứng minh tương tự như câu `a` :

`CM\bot EF,BF\bot CE`

`\triangle FEC` có : `CM, BF, DE` là đường cao

`->CM,BF, DE` đồng quy tại trực tâm của `\triangle FEC`

c,

Đặt `AE=x, AF=y`

`-> BE=AF=y`

`->x,y>0`

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `x,y` ta được :

`x+y>= 2\sqrt{xy}`

`->(x+y)^2>=4xy`

`->  xy \le (x+y)^2/4`

`-> AE . ME\le (AE + BE)^2/4=(AB^2)/4`

`-> (max)S_{AEMF}\le (AB^2)/4`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `AE=EM`

`->AEMF` là hình vuông

`->AM` là phân giác `hat{DAB}` mà `AC` là phân giác `hat{DAB}`

`->AC` đi qua `M` và `BD` đi qua `M`

`->AC,BD` cắt nhau tại `M`

`->M` là tâm hình vuông `ABCD`

Vậy `(max)S_{AEMF}\=(AB^2)/4<=>M` là tâm hình vuông `ABCD`