Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Ta có DE là trung trực của OA

=> DO = DA (tính chất đường trung trực).

Mà OA = OD (= R)

=> OA = OD = DA = R.

\( \Rightarrow DO = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABD\) vuông tại D.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABD có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}\\ \Rightarrow {\left( {2R} \right)^2} = {R^2} + B{D^2}\\ \Rightarrow B{D^2} = 3{R^2}\\ \Rightarrow BD = R\sqrt 3 \end{array}\)

b) Tương tự ta chứng minh được tam giác OAE đều

\( \Rightarrow OA = OE = AE\)

\( \Rightarrow OD = AD = OE = AE \Rightarrow ODAE\) là hình thoi.

\( \Rightarrow OA\) là trung trự của DE hay \(OM\) là trung trực của DE.

\( \Rightarrow MD = ME\) (tính chất trung trực).

Xét \(\Delta ODM\) và \(\Delta OEM\) có:

OM chung

OE = OD = R.

\(MD = ME\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ODM = \Delta OEM\,\,\left( {c.c.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ODM} = \widehat {OEM}\) (2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ODM} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {OEM} = {90^0}\)

\( \Rightarrow ME \bot OE\) tại E

\( \Rightarrow ME\) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

c) Tam giác ODM vuông tại D

\( \Rightarrow M{D^2} = MI.MO\) (HTL)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ADM} + \widehat {ODA} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0} - \widehat {ODA} = {30^0} = \widehat {MBD}\end{array}\)

Xét \(\Delta MAD\) và \(\Delta MDB\) có:

\(\widehat M\) chung

\(\widehat {MDA} = \widehat {MBD} = {30^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAD \sim \Delta MDB\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MD}}{{MB}} \Rightarrow M{D^2} = MA.MB\end{array}\)

Vậy \(MA.MB = MI.MO\).